Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 5$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 3 {(x + h)}^{2} + 5$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 {(x + h)}^{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.2

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 ((x + h) (x + h)) + 5$

Étape 2.1.2.1.3

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 5$

Étape 2.1.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 5$

Étape 2.1.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 5$

Étape 2.1.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 5$

Étape 2.1.2.1.4.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 5$

Étape 2.1.2.1.4.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 5$

Étape 2.1.2.1.4.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 5$

Étape 2.1.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x^{2} - 3 (2 h x) - 3 h^{2} + 5$

Étape 2.1.2.1.6

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2} + 5$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2} + 5$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2} + 5$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2} + 5$

Étape 2.2.2

Déplacez $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2} + 5$

Étape 2.2.3

Déplacez $- 3 x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 6 h x - 3 h^{2} - 3 x^{2} + 5$

Étape 2.2.4

Déplacez $- 6 h x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 5$

Étape 2.2.5

Déplacez $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 5$

Étape 2.2.6

Déplacez $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 5$

Étape 2.2.7

Remettez dans l’ordre $3 h^{2} x$ et $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 5$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 5$

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 5$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 5$

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 5$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 5 - (x^{3} - 3 x^{2} + 5)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 5 - x^{3} - (- 3 x^{2}) - 1 \cdot 5}{h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 5 - x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot 5}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 5 - x^{3} + 3 x^{2} - 5}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 5 + 0 + 3 x^{2} - 5}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $h^{3}$ et $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 5 + 3 x^{2} - 5}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x + 0 + 5 - 5}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $h^{3}$ et $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x + 5 - 5}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x + 0}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x$ et $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x}{h}$

Étape 4.1.9

Factorisez $h$ à partir de $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x$ .

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Étape 4.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x}{h}$

Étape 4.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 3 h^{2} - 6 h x}{h}$

Étape 4.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 3 h^{2} - 6 h x}{h}$

Étape 4.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 3 h) - 6 h x}{h}$

Étape 4.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $- 6 h x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 3 h) + h (- 6 x)}{h}$

Étape 4.1.9.6

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 3 h) + h (- 6 x)}{h}$

Étape 4.1.9.7

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 3 h) + h (- 6 x)}{h}$

Étape 4.1.9.8

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 3 h)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 6 x)}{h}$

Étape 4.1.9.9

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 6 x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x$ par $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 3 h - 6 x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $- 3 h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 6 x - 3 h$

Étape 4.2.2.3

Déplacez $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 6 x - 3 h$

Étape 4.2.2.4

Remettez dans l’ordre $3 x h$ et $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 6 x - 3 h$

Étape 5