Pré-calcul Exemples

$f (x) = - x^{2} - x + 1$ ;, $[2, \frac{7}{3}]$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - x^{2} - x + 1$ comme une équation.

$y = - x^{2} - x + 1$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $x$ valeurs des deux points.

$\frac{f (\frac{7}{3}) - f (2)}{(\frac{7}{3}) - (2)}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = - x^{2} - x + 1$ pour $f (\frac{7}{3})$ et $f (2)$ , en remplaçant $x$ dans la fonction avec la valeur $x$ correspondante.

$\frac{(- {(\frac{7}{3})}^{2} - (\frac{7}{3}) + 1) - (- {(2)}^{2} - (2) + 1)}{(\frac{7}{3}) - (2)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $3$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1)}{\frac{7}{3} - (2)}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1)}{\frac{7}{3} - (2)}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3} - (2))}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Étape 3.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 (- \frac{7^{2}}{3^{2}}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7^{2}}{3^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3^{2}} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $3$ à partir de $3^{2}$ .

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3 \cdot 3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3 \cdot 3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 7^{2}}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot 49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.4

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$\frac{\frac{- 49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.7.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 1 \cdot 4 - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.7.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 4 - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.7.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 4 - 2 + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.8

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 6 + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.9

Additionnez $- 6$ et $1$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- - 5)}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.10

Multipliez $3 (- - 5)$ .

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Étape 3.4.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 \cdot 5}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.10.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.11

Pour écrire $- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 \cdot \frac{3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.12

Associez $- 7$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{49}{3} + \frac{- 7 \cdot 3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 49 - 7 \cdot 3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.14.1

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$\frac{\frac{- 49 - 21}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.14.2

Soustrayez $21$ de $- 49$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.15

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.16

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 70 + 3 \cdot 3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.18.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\frac{- 70 + 9}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.18.2

Additionnez $- 70$ et $9$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.19

Pour écrire $15$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + 15 \cdot \frac{3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.20

Associez $15$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 61 + 15 \cdot 3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.22.1

Multipliez $15$ par $3$ .

$\frac{\frac{- 61 + 45}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.22.2

Additionnez $- 61$ et $45$ .

$\frac{\frac{- 16}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.4.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $3 (- (2))$ .

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Étape 3.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 + 3 \cdot - 2}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 - 6}$

Étape 3.5.2

Soustrayez $6$ de $7$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{1}$

Étape 3.6

Divisez $- \frac{16}{3}$ par $1$ .

$- \frac{16}{3}$