Pré-calcul Exemples

$d (t) = 0.8 t^{2}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = t + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $t$ par $t + h$ dans l’expression.

$d (t + h) = 0.8 {(t + h)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(t + h)}^{2}$ comme $(t + h) (t + h)$ .

$d (t + h) = 0.8 ((t + h) (t + h))$

Étape 2.1.2.2

Développez $(t + h) (t + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$d (t + h) = 0.8 (t (t + h) + h (t + h))$

Étape 2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$d (t + h) = 0.8 (t \cdot t + t h + h (t + h))$

Étape 2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$d (t + h) = 0.8 (t \cdot t + t h + h t + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + t h + h t + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + t h + h t + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $t h$ et $h t$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $t$ et $h$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + h t + h t + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2.2

Additionnez $h t$ et $h t$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + 2 h t + h^{2})$

Étape 2.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$d (t + h) = 0.8 t^{2} + 0.8 (2 h t) + 0.8 h^{2}$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $2$ par $0.8$ .

$d (t + h) = 0.8 t^{2} + 1.6 h t + 0.8 h^{2}$

Étape 2.1.2.6

La réponse finale est $0.8 t^{2} + 1.6 h t + 0.8 h^{2}$ .

$0.8 t^{2} + 1.6 h t + 0.8 h^{2}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $0.8 t^{2}$ .

$1.6 h t + 0.8 h^{2} + 0.8 t^{2}$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $1.6 h t$ et $0.8 h^{2}$ .

$0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$d (t + h) = 0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2}$

$d (t) = 0.8 t^{2}$

$d (t + h) = 0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2}$

$d (t) = 0.8 t^{2}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{d (t + h) - d t}{h} = \frac{0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2} - (0.8 t^{2})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Factorisez $0.2$ à partir de $0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}$ .

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Étape 4.1.1.1

Déplacez $h$ .

$\frac{0.8 h^{2} + 1.6 t h + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $0.2$ à partir de $0.8 h^{2}$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 1.6 t h + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Étape 4.1.1.3

Factorisez $0.2$ à partir de $1.6 t h$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h) + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Étape 4.1.1.4

Factorisez $0.2$ à partir de $0.8 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h) + 0.2 (4 t^{2}) - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Étape 4.1.1.5

Factorisez $0.2$ à partir de $- 1 \cdot 0.8 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h) + 0.2 (4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Étape 4.1.1.6

Factorisez $0.2$ à partir de $0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h)$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2} + 8 t h) + 0.2 (4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Étape 4.1.1.7

Factorisez $0.2$ à partir de $0.2 (4 h^{2} + 8 t h) + 0.2 (4 t^{2})$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2} + 8 t h + 4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Étape 4.1.1.8

Factorisez $0.2$ à partir de $0.2 (4 h^{2} + 8 t h + 4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})$ .

$\frac{0.2 (4 h^{2} + 8 t h + 4 t^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Étape 4.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez $4 h^{2}$ comme ${(2 h)}^{2}$ .

$\frac{0.2 ({(2 h)}^{2} + 8 t h + 4 t^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez $4 t^{2}$ comme ${(2 t)}^{2}$ .

$\frac{0.2 ({(2 h)}^{2} + 8 t h + {(2 t)}^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Étape 4.1.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 t h = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 t)$

Étape 4.1.2.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{0.2 ({(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 t) + {(2 t)}^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Étape 4.1.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 2 h$ et $b = 2 t$ .

$\frac{0.2 ({(2 h + 2 t)}^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Étape 4.1.3

Réécrivez $5 \cdot 0.8 t^{2}$ comme ${(2 t)}^{2}$ .

$\frac{0.2 ({(2 h + 2 t)}^{2} - {(2 t)}^{2})}{h}$

Étape 4.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 h + 2 t$ et $b = 2 t$ .

$\frac{0.2 ((2 h + 2 t + 2 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Additionnez $2 t$ et $2 t$ .

$\frac{0.2 ((2 h + 4 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Étape 4.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 h + 4 t$ .

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Étape 4.1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 h$ .

$\frac{0.2 ((2 h + 4 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4 t$ .

$\frac{0.2 ((2 h + 2 (2 t)) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 h + 2 (2 t)$ .

$\frac{0.2 (2 (h + 2 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{0.2 (2 (h + 2 t) (2 h + 2 t - 2 t))}{h}$

$\frac{0.2 \cdot 2 (h + 2 t) (2 h + 2 t - 2 t)}{h}$

Étape 4.1.6

Multipliez $0.2$ par $2$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) (2 h + 2 t - 2 t)}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $2 t$ de $2 t$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) (2 h + 0 t)}{h}$

Étape 4.1.8

Multipliez $0$ par $t$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) (2 h + 0)}{h}$

Étape 4.1.9

Additionnez $2 h$ et $0$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) \cdot 2 h}{h}$

Étape 4.1.10

Multipliez $2$ par $0.4$ .

$\frac{0.8 (h + 2 t) h}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.8 (h + 2 t) h}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $0.8 (h + 2 t)$ par $1$ .

$0.8 (h + 2 t)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$0.8 h + 0.8 (2 t)$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $2$ par $0.8$ .

$0.8 h + 1.6 t$

Étape 4.2.3.2

Remettez dans l’ordre $0.8 h$ et $1.6 t$ .

$1.6 t + 0.8 h$

Étape 5