Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{- 1}{x^{2} - 36}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 36}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 6^{2}}$

Étape 2.1.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x + h$ et $b = 6$ .

$f (x + h) = \frac{- 1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

Étape 2.1.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} - (- \frac{1}{(x + 6) (x - 6)})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ .

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Étape 4.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + 1 \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ par $1$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.3

Pour écrire $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

Étape 4.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h + 6) (x + h - 6) (x + 6) (x - 6)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ par $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ par $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

Étape 4.1.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

Étape 4.1.4.4

Réorganisez les facteurs de $(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- (x + 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{(- x - 1 \cdot 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{\frac{(- x - 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.3

Développez $(- x - 6) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- x (x - 6) - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.6.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.4.1.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.4.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.4.2

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 0 + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.4.3

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.5

Développez $(x + h + 6) (x + h - 6)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.6

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6$ .

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Étape 4.1.6.6.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 6$ et $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h - 6 x + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.6.2

Additionnez $- 6 x$ et $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 0 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.6.3

Additionnez $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6$ et $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.6.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $h \cdot - 6$ et $6 h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 6 h + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.6.5

Additionnez $- 6 h$ et $6 h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 0 + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.6.6

Additionnez $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$ et $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.6.7.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.7.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.7.3

Multipliez $6$ par $- 6$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.8

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 4.1.6.8.1

Remettez dans l’ordre $h$ et $x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.8.2

Additionnez $x h$ et $x h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.9

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.10

Additionnez $0$ et $36$ .

$\frac{\frac{36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.11

Soustrayez $36$ de $36$ .

$\frac{\frac{2 x h + h^{2} + 0}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.12

Additionnez $2 x h + h^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.13

Factorisez $h$ à partir de $2 x h + h^{2}$ .

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Étape 4.1.6.13.1

Factorisez $h$ à partir de $2 x h$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.13.2

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.1.6.13.3

Factorisez $h$ à partir de $h (2 x) + h (h)$ .

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x + h}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}$

Étape 5