Pré-calcul Exemples

$f (x) = 6 e^{x}$ , $[- 3, 3]$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 6 e^{x}$ comme une équation.

$y = 6 e^{x}$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $x$ valeurs des deux points.

$\frac{f (3) - f (- 3)}{(3) - (- 3)}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = 6 e^{x}$ pour $f (3)$ et $f (- 3)$ , en remplaçant $x$ dans la fonction avec la valeur $x$ correspondante.

$\frac{(6 e^{3}) - (6 e^{- 3})}{(3) - (- 3)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{6 e^{3} - 6 e^{- 3}}{3 - (- 3)}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 e^{3} - 6 \frac{1}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Étape 3.1.3

Associez $- 6$ et $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{6 e^{3} + \frac{- 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Étape 3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6 e^{3} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Étape 3.1.5

Pour écrire $6 e^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3}}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Étape 3.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Étape 3.1.7

Multipliez $e^{3}$ par $e^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.7.1

Déplacez $e^{3}$ .

$\frac{\frac{6 (e^{3} e^{3}) - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Étape 3.1.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{6 e^{3 + 3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Étape 3.1.7.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 + 3}$

Étape 3.2.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{6}$

Étape 3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}} \cdot \frac{1}{6}$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}$ par $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3} \cdot 6}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun à $6 e^{6} - 6$ et $6$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 e^{6}$ .

$\frac{6 (e^{6}) - 6}{e^{3} \cdot 6}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$\frac{6 (e^{6}) + 6 \cdot - 1}{e^{3} \cdot 6}$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (e^{6}) + 6 (- 1)$ .

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{e^{3} \cdot 6}$

Étape 3.4.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.4.1

Factorisez $6$ à partir de $e^{3} \cdot 6$ .

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

Étape 3.4.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

Étape 3.4.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{6} - 1}{e^{3}}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Réécrivez $e^{6}$ comme ${(e^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1}{e^{3}}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1^{3}}{e^{3}}$

Étape 3.5.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = e^{2}$ et $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Étape 3.5.4

Simplifiez

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Étape 3.5.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} - 1^{2}) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Étape 3.5.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e$ et $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Étape 3.5.4.3

Multipliez $e^{2}$ par $1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Étape 3.5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.5.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.5.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{2 \cdot 2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Étape 3.5.5.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Étape 3.5.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1)}{e^{3}}$