Pré-calcul Exemples

$S (t) = 155 (7 - \frac{7}{6 + t})$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = t + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $t$ par $t + h$ dans l’expression.

$S (t + h) = 155 (7 - \frac{7}{6 + t + h})$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$S (t + h) = 155 (7 - \frac{7}{6 + t + h})$

Étape 2.1.2.2

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6 + t + h}{6 + t + h}$ .

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (6 + t + h)}{6 + t + h} - \frac{7}{6 + t + h})$

Étape 2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (6 + t + h) - 7}{6 + t + h})$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.4.1

Factorisez $7$ à partir de $7 (6 + t + h) - 7$ .

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Étape 2.1.2.4.1.1

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (6 + t + h) + 7 (- 1)}{6 + t + h})$

Étape 2.1.2.4.1.2

Factorisez $7$ à partir de $7 (6 + t + h) + 7 (- 1)$ .

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (6 + t + h - 1)}{6 + t + h})$

Étape 2.1.2.4.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (t + h + 5)}{6 + t + h})$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $155 \frac{7 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ .

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Étape 2.1.2.5.1

Associez $155$ et $\frac{7 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ .

$S (t + h) = \frac{155 (7 (t + h + 5))}{6 + t + h}$

Étape 2.1.2.5.2

Multipliez $7$ par $155$ .

$S (t + h) = \frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$

Étape 2.1.2.6

La réponse finale est $\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ .

$\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$S (t + h) = \frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$

$S (t) = \frac{1085 (t + 5)}{6 + t}$

$S (t + h) = \frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$

$S (t) = \frac{1085 (t + 5)}{6 + t}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{S (t + h) - S t}{h} = \frac{\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h} - (\frac{1085 (t + 5)}{6 + t})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6 + t}{6 + t}$ .

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h} \cdot \frac{6 + t}{6 + t} - \frac{1085 (t + 5)}{6 + t}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{1085 (t + 5)}{6 + t}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6 + t + h}{6 + t + h}$ .

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h} \cdot \frac{6 + t}{6 + t} - \frac{1085 (t + 5)}{6 + t} \cdot \frac{6 + t + h}{6 + t + h}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(6 + t + h) (6 + t)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ par $\frac{6 + t}{6 + t}$ .

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t)}{(6 + t + h) (6 + t)} - \frac{1085 (t + 5)}{6 + t} \cdot \frac{6 + t + h}{6 + t + h}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{1085 (t + 5)}{6 + t}$ par $\frac{6 + t + h}{6 + t + h}$ .

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t)}{(6 + t + h) (6 + t)} - \frac{1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(6 + t + h) (6 + t)$ .

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t)}{(6 + t) (6 + t + h)} - \frac{1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t) - 1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t) - 1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $1085$ à partir de $1085 (t + h + 5) (6 + t) - 1085 (t + 5) (6 + t + h)$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Factorisez $1085$ à partir de $1085 (t + h + 5) (6 + t)$ .

$\frac{\frac{1085 ((t + h + 5) (6 + t)) - 1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez $1085$ à partir de $- 1085 (t + 5) (6 + t + h)$ .

$\frac{\frac{1085 ((t + h + 5) (6 + t)) + 1085 (- (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.3

Factorisez $1085$ à partir de $1085 ((t + h + 5) (6 + t)) + 1085 (- (t + 5) (6 + t + h))$ .

$\frac{\frac{1085 ((t + h + 5) (6 + t) - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Développez $(t + h + 5) (6 + t)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\frac{1085 (t \cdot 6 + t \cdot t + h \cdot 6 + h t + 5 \cdot 6 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $t$ .

$\frac{\frac{1085 (6 \cdot t + t \cdot t + h \cdot 6 + h t + 5 \cdot 6 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{\frac{1085 (6 t + t^{2} + h \cdot 6 + h t + 5 \cdot 6 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.3

Déplacez $6$ à gauche de $h$ .

$\frac{\frac{1085 (6 t + t^{2} + 6 \cdot h + h t + 5 \cdot 6 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.4

Multipliez $5$ par $6$ .

$\frac{\frac{1085 (6 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Additionnez $6 t$ et $5 t$ .

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 + (- t - 1 \cdot 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 + (- t - 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Développez $(- t - 5) (6 + t + h)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - t \cdot 6 - t \cdot t - t h - 5 \cdot 6 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.8.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - 6 t - t \cdot t - t h - 5 \cdot 6 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.2

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.8.2.1

Déplacez $t$ .

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - 6 t - (t \cdot t) - t h - 5 \cdot 6 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.2.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - 6 t - t^{2} - t h - 5 \cdot 6 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.3

Multipliez $- 5$ par $6$ .

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - 6 t - t^{2} - t h - 30 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Soustrayez $5 t$ de $- 6 t$ .

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - t^{2} - t h - 30 - 11 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Soustrayez $11 t$ de $11 t$ .

$\frac{\frac{1085 (t^{2} + 6 h + h t + 30 - t^{2} - t h - 30 + 0 - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Soustrayez $t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{\frac{1085 (6 h + h t + 30 + 0 - t h - 30 + 0 - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.12

Additionnez $6 h$ et $0$ .

$\frac{\frac{1085 (6 h + h t + 30 - t h - 30 + 0 - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.13

Additionnez $6 h$ et $0$ .

$\frac{\frac{1085 (6 h + h t + 30 - t h - 30 - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.14

Soustrayez $5 h$ de $6 h$ .

$\frac{\frac{1085 (h + h t + 30 - t h - 30)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.15

Soustrayez $t h$ de $h t$ .

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Étape 4.1.5.15.1

Remettez dans l’ordre $h$ et $t$ .

$\frac{\frac{1085 (h + t h - t h + 30 - 30)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.15.2

Soustrayez $t h$ de $t h$ .

$\frac{\frac{1085 (h + 0 + 30 - 30)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.16

Additionnez $h$ et $0$ .

$\frac{\frac{1085 (h + 30 - 30)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.17

Soustrayez $30$ de $30$ .

$\frac{\frac{1085 (h + 0)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.18

Additionnez $h$ et $0$ .

$\frac{\frac{1085 h}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1085 h}{(6 + t) (6 + t + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $h$ à partir de $1085 h$ .

$\frac{h \cdot 1085}{(6 + t) (6 + t + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot 1085}{(6 + t) (6 + t + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1085}{(6 + t) (6 + t + h)}$

Étape 5