Pré-calcul Exemples

$y = \frac{1}{3} x^{2} - 4$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{1}{3} x^{2} - 4$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - 4$

Étape 2

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 3

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 3.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot {(x + h)}^{2} - 4$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot ((x + h) (x + h)) - 4$

Étape 3.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) - 4$

Étape 3.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 4$

Étape 3.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 4$

Étape 3.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 4$

Étape 3.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 4$

Étape 3.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 3.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 4$

Étape 3.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 4$

Étape 3.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} \cdot (2 h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Étape 3.1.2.1.5

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (2 h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Étape 3.1.2.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{3} (2 h x)$ .

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Étape 3.1.2.1.5.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2}{3} \cdot (h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Étape 3.1.2.1.5.2.2

Associez $h$ et $\frac{2}{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot 2}{3} \cdot x + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Étape 3.1.2.1.5.2.3

Associez $\frac{h \cdot 2}{3}$ et $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot (2 x)}{3} + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Étape 3.1.2.1.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot (2 x)}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Étape 3.1.2.1.6

Déplacez $2$ à gauche de $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Étape 3.1.2.2

La réponse finale est $\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.2.1

Déplacez $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

Étape 3.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{2 h x}{3}$ et $\frac{h^{2}}{3}$ .

$\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

Étape 3.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x) = \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x) = \frac{x^{2}}{3} - 4$

Étape 4

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - (\frac{x^{2}}{3} - 4)}{h}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - \frac{x^{2}}{3} - - 4}{h}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - \frac{x^{2}}{3} + 4}{h}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $\frac{x^{2}}{3}$ de $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + 0 - 4 + 4}{h}$

Étape 5.1.4

Additionnez $\frac{h^{2}}{3}$ et $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} - 4 + 4}{h}$

Étape 5.1.5

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + 0}{h}$

Étape 5.1.6

Additionnez $\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3}$ et $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3}}{h}$

Étape 5.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{h^{2} + 2 h x}{3}}{h}$

Étape 5.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.8.1

Déplacez $h$ .

$\frac{\frac{h^{2} + 2 x h}{3}}{h}$

Étape 5.1.8.2

Remettez dans l’ordre $h^{2}$ et $2 x h$ .

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{3}}{h}$

Étape 5.1.9

Factorisez $h$ à partir de $2 x h + h^{2}$ .

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Étape 5.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $2 x h$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{3}}{h}$

Étape 5.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{3}}{h}$

Étape 5.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $h (2 x) + h (h)$ .

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{3}}{h}$

Étape 5.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{h (2 x + h)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (2 x + h)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x + h}{3}$

Étape 6