Pré-calcul Exemples

$V = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Étape 1

Écrivez $V = \frac{4 π r^{3}}{3}$ comme une fonction.

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Étape 2

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Étape 3

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 3.1

Évaluez la fonction sur $x = r + h$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $r$ par $r + h$ dans l’expression.

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

Étape 3.1.2

La réponse finale est $\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

Étape 3.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Étape 4

Insérez les composants.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}$ en forme factorisée.

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Étape 5.1.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{\frac{4 π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}) - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Étape 5.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 4 π (3 r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Étape 5.1.2.3

Simplifiez

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Étape 5.1.2.3.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Étape 5.1.2.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 12 π (r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Étape 5.1.2.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Étape 5.1.2.5

Soustrayez $4 π r^{3}$ de $4 π r^{3}$ .

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} + 0}{3}}{h}$

Étape 5.1.2.6

Additionnez $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ et $0$ .

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Étape 5.1.2.7

Factorisez $4 π h$ à partir de $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ .

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Étape 5.1.2.7.1

Factorisez $4 π h$ à partir de $12 π r^{2} h$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Étape 5.1.2.7.2

Factorisez $4 π h$ à partir de $12 π r h^{2}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Étape 5.1.2.7.3

Factorisez $4 π h$ à partir de $4 π h^{3}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

Étape 5.1.2.7.4

Factorisez $4 π h$ à partir de $4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h)$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

Étape 5.1.2.7.5

Factorisez $4 π h$ à partir de $4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}}{h}$

Étape 5.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 5.3

Associez.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3}$

Étape 5.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}$

Étape 6