Pré-calcul Exemples

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Étape 1

Écrivez $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ comme une fonction.

$f (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

Étape 2

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Étape 3

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 3.1

Évaluez la fonction sur $x = r + h$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $r$ par $r + h$ dans l’expression.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π {(r + h)}^{3})$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}))$

Étape 3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π (3 r^{2} h) + π (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Étape 3.1.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π \cdot (3 r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Étape 3.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 \cdot (π r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Étape 3.1.2.4.2

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 π r^{2} h + 3 π r h^{2} + π h^{3})$

Étape 3.1.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3}) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Étape 3.1.2.6

Simplifiez

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Étape 3.1.2.6.1

Multipliez $\frac{4}{3} (π r^{3})$ .

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Étape 3.1.2.6.1.1

Associez $π$ et $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot 4}{3} r^{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Étape 3.1.2.6.1.2

Associez $\frac{π \cdot 4}{3}$ et $r^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Étape 3.1.2.6.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π r^{2} h$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Étape 3.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Étape 3.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Étape 3.1.2.6.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.6.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π r h^{2}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Étape 3.1.2.6.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Étape 3.1.2.6.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Étape 3.1.2.6.4

Multipliez $\frac{4}{3} (π h^{3})$ .

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Étape 3.1.2.6.4.1

Associez $π$ et $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot 4}{3} h^{3}$

Étape 3.1.2.6.4.2

Associez $\frac{π \cdot 4}{3}$ et $h^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

Étape 3.1.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.7.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 \cdot (π r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

Étape 3.1.2.7.2

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Étape 3.1.2.8

La réponse finale est $\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.2.1

Déplacez $r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Étape 3.2.2

Déplacez $r$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Étape 3.2.3

Déplacez $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Étape 3.2.4

Déplacez $4 π h r^{2}$ .

$4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Étape 3.2.5

Remettez dans l’ordre $4 π h^{2} r$ et $\frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Étape 3.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Étape 4

Insérez les composants.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $\frac{4 π r^{3}}{3}$ de $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + 0}{h}$

Étape 5.1.2

Additionnez $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

Étape 5.1.3

Factorisez $4 π h$ à partir de $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ .

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Étape 5.1.3.1

Factorisez $4 π h$ à partir de $\frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

Étape 5.1.3.2

Factorisez $4 π h$ à partir de $4 π h^{2} r$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Étape 5.1.3.3

Factorisez $4 π h$ à partir de $4 π h r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Étape 5.1.3.4

Factorisez $4 π h$ à partir de $4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r)$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Étape 5.1.3.5

Factorisez $4 π h$ à partir de $4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r + r^{2})}{h}$

Étape 5.1.4

Pour écrire $h r$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r \cdot \frac{3}{3} + r^{2})}{h}$

Étape 5.1.5

Associez $h r$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + \frac{h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Étape 5.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2} + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Étape 5.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} + h r \cdot 3$ .

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Étape 5.1.7.1.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h \cdot h + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Étape 5.1.7.1.2

Factorisez $h$ à partir de $h r \cdot 3$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h) + h (r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

Étape 5.1.7.1.3

Factorisez $h$ à partir de $h (h) + h (r \cdot 3)$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

Étape 5.1.7.2

Déplacez $3$ à gauche de $r$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2})}{h}$

Étape 5.1.8

Pour écrire $r^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2} \cdot \frac{3}{3})}{h}$

Étape 5.1.9

Associez $r^{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + \frac{r^{2} \cdot 3}{3})}{h}$

Étape 5.1.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 π h \frac{h (h + 3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Étape 5.1.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 π h \frac{h (h) + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Étape 5.1.11.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Étape 5.1.11.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Étape 5.1.11.4

Déplacez $3$ à gauche de $r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}}{h}$

Étape 5.1.12

Associez les exposants.

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Étape 5.1.12.1

Associez $4$ et $\frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}$ .

$\frac{π h \frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Étape 5.1.12.2

Associez $π$ et $\frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$ .

$\frac{h \frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}}{h}$

Étape 5.1.12.3

Associez $h$ et $\frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}$ .

$\frac{\frac{h (π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})))}{3}}{h}$

Étape 5.1.13

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{\frac{h π \cdot 4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Étape 5.1.14

Déplacez $4$ à gauche de $h π$ .

$\frac{\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Étape 5.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 5.3

Associez.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3}$

Étape 5.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$

Étape 6