Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{4}{x^{2} + 1}$ ; $[- 1, 1]$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{4}{x^{2} + 1}$ comme une équation.

$y = \frac{4}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $x$ valeurs des deux points.

$\frac{f (1) - f (- 1)}{(1) - (- 1)}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = \frac{4}{x^{2} + 1}$ pour $f (1)$ et $f (- 1)$ , en remplaçant $x$ dans la fonction avec la valeur $x$ correspondante.

$\frac{(\frac{4}{{(1)}^{2} + 1}) - (\frac{4}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1) - (- 1)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\frac{4}{1^{2} + 1} - \frac{4}{{(- 1)}^{2} + 1}}{1 - (- 1)}$ par $\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}$ .

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)} \cdot \frac{\frac{4}{1^{2} + 1} - \frac{4}{{(- 1)}^{2} + 1}}{1 - (- 1)}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (\frac{4}{1^{2} + 1} - \frac{4}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (1 - (- 1))}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \frac{4}{1^{2} + 1} + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- \frac{4}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $1^{2} + 1$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 4 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- \frac{4}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de ${(- 1)}^{2} + 1$ .

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Étape 3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{{(- 1)}^{2} + 1}$ dans le numérateur.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 4 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.3.2.2

Factorisez ${(- 1)}^{2} + 1$ à partir de $(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)$ .

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 4 + ({(- 1)}^{2} + 1) (1^{2} + 1) \frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 4 + ({(- 1)}^{2} + 1) (1^{2} + 1) \frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 4 + (1^{2} + 1) \cdot - 4}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{(1 + 1) \cdot 4 + (1^{2} + 1) \cdot - 4}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.4.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \cdot 4 + (1^{2} + 1) \cdot - 4}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8 + (1^{2} + 1) \cdot - 4}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{8 + (1 + 1) \cdot - 4}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 + 2 \cdot - 4}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.4.6

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{8 - 8}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.4.7

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{0}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{(1 + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{0}{2 ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.5.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{2 (1 + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2 \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.5.5

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 3.5.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.5.5.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{0}{4 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.5.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{4 + (1 + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.5.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{0}{4 + 2 ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.5.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4 + 2 (1 + 1) (- (- 1))}$

Étape 3.5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{0}{4 + 2 \cdot 2 (- (- 1))}$

Étape 3.5.10

Multipliez $2 \cdot 2 (- (- 1))$ .

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Étape 3.5.10.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0}{4 + 4 (- (- 1))}$

Étape 3.5.10.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{0}{4 + 4 \cdot 1}$

Étape 3.5.10.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{0}{4 + 4}$

Étape 3.5.11

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{0}{8}$

Étape 3.6

Divisez $0$ par $8$ .

$0$