Pré-calcul Exemples

${(t + 3)}^{2} + 5$

Étape 1

Écrivez ${(t + 3)}^{2} + 5$ comme une fonction.

$f (t) = {(t + 3)}^{2} + 5$

Étape 2

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Étape 3

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 3.1

Évaluez la fonction sur $x = t + h$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $t$ par $t + h$ dans l’expression.

$f (t + h) = {((t + h) + 3)}^{2} + 5$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Réécrivez ${(t + h + 3)}^{2}$ comme $(t + h + 3) (t + h + 3)$ .

$f (t + h) = (t + h + 3) (t + h + 3) + 5$

Étape 3.1.2.1.2

Développez $(t + h + 3) (t + h + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f (t + h) = t \cdot t + t h + t \cdot 3 + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Étape 3.1.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.3.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + t \cdot 3 + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Étape 3.1.2.1.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $t$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + 3 \cdot t + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Étape 3.1.2.1.3.3

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Étape 3.1.2.1.3.4

Déplacez $3$ à gauche de $h$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + 3 \cdot h + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Étape 3.1.2.1.3.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

Étape 3.1.2.1.4

Additionnez $t h$ et $h t$ .

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Étape 3.1.2.1.4.1

Remettez dans l’ordre $t$ et $h$ .

$f (t + h) = t^{2} + h t + h t + 3 t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

Étape 3.1.2.1.4.2

Additionnez $h t$ et $h t$ .

$f (t + h) = t^{2} + 2 h t + 3 t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

Étape 3.1.2.1.5

Additionnez $3 t$ et $3 t$ .

$f (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 3 h + 6 t + 3 h + 9 + 5$

Étape 3.1.2.1.6

Additionnez $3 h$ et $3 h$ .

$f (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 9 + 5$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $9$ et $5$ .

$f (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$ .

$t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.2.1

Déplacez $t^{2}$ .

$2 h t + h^{2} + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Étape 3.2.2

Remettez dans l’ordre $2 h t$ et $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Étape 3.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (t + h) = h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

$f (t) = t^{2} + 6 t + 14$

$f (t + h) = h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

$f (t) = t^{2} + 6 t + 14$

Étape 4

Insérez les composants.

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - (t^{2} + 6 t + 14)}{h}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - (6 t) - 1 \cdot 14}{h}$

Étape 5.1.2

Simplifiez

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - 6 t - 1 \cdot 14}{h}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - 6 t - 14}{h}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 6 t + 14 + 0 - 6 t - 14}{h}$

Étape 5.1.4

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 6 t + 14 - 6 t - 14}{h}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $6 t$ de $6 t$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 0 + 14 - 14}{h}$

Étape 5.1.6

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 14 - 14}{h}$

Étape 5.1.7

Soustrayez $14$ de $14$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 0}{h}$

Étape 5.1.8

Additionnez $h^{2} + 2 h t + 6 h$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h}{h}$

Étape 5.1.9

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} + 2 h t + 6 h$ .

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Étape 5.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h t + 6 h}{h}$

Étape 5.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $2 h t$ .

$\frac{h (h) + h (2 t) + 6 h}{h}$

Étape 5.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $6 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 t) + h \cdot 6}{h}$

Étape 5.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $h (h) + h (2 t)$ .

$\frac{h (h + 2 t) + h \cdot 6}{h}$

Étape 5.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $h (h + 2 t) + h \cdot 6$ .

$\frac{h (h + 2 t + 6)}{h}$

Étape 5.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (h + 2 t + 6)}{h}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $h + 2 t + 6$ par $1$ .

$h + 2 t + 6$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre $h$ et $2 t$ .

$2 t + h + 6$

Étape 6