Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x}{3 x^{2} - 5 x}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{x + h}{3 {(x + h)}^{2} - 5 (x + h)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.1.1

Factorisez $x + h$ à partir de $3 {(x + h)}^{2} - 5 (x + h)$ .

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Étape 2.1.2.1.1.1

Factorisez $x + h$ à partir de $3 {(x + h)}^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 (x + h)) - 5 (x + h)}$

Étape 2.1.2.1.1.2

Factorisez $x + h$ à partir de $- 5 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 (x + h)) + (x + h) \cdot - 5}$

Étape 2.1.2.1.1.3

Factorisez $x + h$ à partir de $(x + h) (3 (x + h)) + (x + h) \cdot - 5$ .

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 (x + h) - 5)}$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 x + 3 h - 5)}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x + h$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 x + 3 h - 5)}$

Étape 2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x + h) = \frac{1}{3 x + 3 h - 5}$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{3 x + 3 h - 5}$ .

$\frac{1}{3 x + 3 h - 5}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{1}{3 x + 3 h - 5}$

$f (x) = \frac{1}{3 x - 5}$

$f (x + h) = \frac{1}{3 x + 3 h - 5}$

$f (x) = \frac{1}{3 x - 5}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{3 x + 3 h - 5} - (\frac{1}{3 x - 5})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{1}{3 x + 3 h - 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{\frac{1}{3 x + 3 h - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} - \frac{1}{3 x - 5}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{3 x - 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 3 h - 5}{3 x + 3 h - 5}$ .

$\frac{\frac{1}{3 x + 3 h - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} - \frac{1}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x + 3 h - 5}{3 x + 3 h - 5}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{3 x + 3 h - 5}$ par $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{\frac{3 x - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} - \frac{1}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x + 3 h - 5}{3 x + 3 h - 5}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{3 x - 5}$ par $\frac{3 x + 3 h - 5}{3 x + 3 h - 5}$ .

$\frac{\frac{3 x - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} - \frac{3 x + 3 h - 5}{(3 x - 5) (3 x + 3 h - 5)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(3 x - 5) (3 x + 3 h - 5)$ .

$\frac{\frac{3 x - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} - \frac{3 x + 3 h - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x - 5 - (3 x + 3 h - 5)}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{3 x - 5 - (3 x + 3 h - 5)}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 x - 5 - (3 x) - (3 h) - - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Simplifiez

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Étape 4.1.5.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{3 x - 5 - 3 x - (3 h) - - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{3 x - 5 - 3 x - 3 h - - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{\frac{3 x - 5 - 3 x - 3 h + 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{\frac{0 - 5 - 3 h + 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Soustrayez $5$ de $0$ .

$\frac{\frac{- 5 - 3 h + 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$\frac{\frac{- 3 h + 0}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Additionnez $- 3 h$ et $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Étape 4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h$ .

$\frac{h \cdot - 3}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot - 3}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}$

Étape 5