Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 (x + h)}}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ .

$\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$

$f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$

$f (x + h) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$

$f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}} - (\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + 3 e^{- 1.3 x}}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ .

$\frac{\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}} \cdot \frac{1 + 3 e^{- 1.3 x}}{1 + 3 e^{- 1.3 x}} - \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ .

$\frac{\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}} \cdot \frac{1 + 3 e^{- 1.3 x}}{1 + 3 e^{- 1.3 x}} - \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}} \cdot \frac{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ par $\frac{1 + 3 e^{- 1.3 x}}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})} - \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}} \cdot \frac{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ par $\frac{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})} - \frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})} - \frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) - 24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) - 24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $24$ à partir de $24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) - 24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Factorisez $24$ à partir de $- 24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) + 24 (- (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez $24$ à partir de $24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) + 24 (- (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x} - (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x} - 1 \cdot 1 - (3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x} - 1 - (3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x} - 1 - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{24 (3 e^{- 1.3 x} + 0 - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Additionnez $3 e^{- 1.3 x}$ et $0$ .

$\frac{\frac{24 (3 e^{- 1.3 x} - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Factorisez $3$ à partir de $3 e^{- 1.3 x} - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}$ .

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Étape 4.1.5.7.1

Factorisez $3$ à partir de $3 e^{- 1.3 x}$ .

$\frac{\frac{24 (3 (e^{- 1.3 x}) - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Étape 4.1.5.7.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}$ .

$\frac{\frac{24 (3 (e^{- 1.3 x}) + 3 (- e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Étape 4.1.5.7.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (e^{- 1.3 x}) + 3 (- e^{- 1.3 x - 1.3 h})$ .

$\frac{\frac{24 (3 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

$\frac{\frac{24 \cdot 3 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Multipliez $24$ par $3$ .

$\frac{\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Associez.

$\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h}) \cdot 1}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x}) h}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Multipliez $72$ par $1$ .

$\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x}) h}$

Étape 4.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x}) h}$ .

$\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{h (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}$

Étape 5