Pré-calcul Exemples

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 (x + h)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$ .

$18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - (18 + 3 e^{- 3 x})}{h}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 1 \cdot 18 - (3 e^{- 3 x})}{h}$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 18 - (3 e^{- 3 x})}{h}$

Étape 4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 18 - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Étape 4.4

Soustrayez $18$ de $18$ .

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} + 0 - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Étape 4.5

Additionnez $3 e^{- 3 x - 3 h}$ et $0$ .

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Étape 4.6

Réécrivez $3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}$ en forme factorisée.

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Étape 4.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}$ .

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Étape 4.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 e^{- 3 x - 3 h}$ .

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Étape 4.6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 e^{- 3 x}$ .

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} + 3 (- e^{- 3 x})}{h}$

Étape 4.6.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 e^{- 3 x - 3 h} + 3 (- e^{- 3 x})$ .

$\frac{3 (e^{- 3 x - 3 h} - e^{- 3 x})}{h}$

Étape 4.6.2

Réécrivez $e^{- 3 x - 3 h}$ comme ${(e^{- x - h})}^{3}$ .

$\frac{3 ({(e^{- x - h})}^{3} - e^{- 3 x})}{h}$

Étape 4.6.3

Réécrivez $e^{- 3 x}$ comme ${(e^{- x})}^{3}$ .

$\frac{3 ({(e^{- x - h})}^{3} - {(e^{- x})}^{3})}{h}$

Étape 4.6.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = e^{- x - h}$ et $b = e^{- x}$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) ({(e^{- x - h})}^{2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Étape 4.6.5

Simplifiez

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Étape 4.6.5.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- x - h})}^{2}$ .

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Étape 4.6.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{(- x - h) \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Étape 4.6.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- x \cdot 2 - h \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Étape 4.6.5.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - h \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Étape 4.6.5.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Étape 4.6.5.2

Multipliez $e^{- x - h}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.5.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- x - h - x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Étape 4.6.5.2.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Étape 4.6.5.3

Multipliez les exposants dans ${(e^{- x})}^{2}$ .

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Étape 4.6.5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- x \cdot 2}))}{h}$

Étape 4.6.5.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x}))}{h}$

$\frac{3 (e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x})}{h}$

Étape 5