Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{- x^{2}}{x^{3} - x^{2}}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez ${(x + h)}^{2}$ à partir de ${(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Factorisez ${(x + h)}^{2}$ à partir de ${(x + h)}^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) - {(x + h)}^{2}}$

Étape 2.1.2.1.2

Factorisez ${(x + h)}^{2}$ à partir de $- {(x + h)}^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1}$

Étape 2.1.2.1.3

Factorisez ${(x + h)}^{2}$ à partir de ${(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun de ${(x + h)}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

Étape 2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x + h) = \frac{- 1}{x + h - 1}$

Étape 2.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

Étape 2.1.2.4

La réponse finale est $- \frac{1}{x + h - 1}$ .

$- \frac{1}{x + h - 1}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{x + h - 1} - (- \frac{1}{x - 1})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- - \frac{1}{x - 1}$ .

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Étape 4.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + 1 \frac{1}{x - 1}}{h}$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{x + h - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

Étape 4.1.3

Pour écrire $\frac{1}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Étape 4.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h - 1) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{x + h - 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Étape 4.1.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Étape 4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- x - - 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- x + 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Étape 4.1.6.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{\frac{0 + 1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Étape 4.1.6.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{\frac{1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Étape 4.1.6.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Étape 4.1.6.6

Additionnez $h$ et $0$ .

$\frac{\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 5