Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h) - 1}{3 (x + h) + 5}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 (x + h) + 5}$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$ .

$\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5} - (\frac{2 x - 1}{3 x + 5})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$\frac{\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5} \cdot \frac{3 x + 5}{3 x + 5} - \frac{2 x - 1}{3 x + 5}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}$ .

$\frac{\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5} \cdot \frac{3 x + 5}{3 x + 5} - \frac{2 x - 1}{3 x + 5} \cdot \frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$ par $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} - \frac{2 x - 1}{3 x + 5} \cdot \frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{2 x - 1}{3 x + 5}$ par $\frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 5) (3 x + 3 h + 5)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(3 x + 5) (3 x + 3 h + 5)$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5) - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5) - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Développez $(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\frac{2 x (3 x) + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.2.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 3 (x \cdot x) + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 3 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 2 \cdot 3 h x + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.7

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 10 h - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 10 h - 3 x - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.9

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 10 h - 3 x - 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Soustrayez $3 x$ de $10 x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 + (- (2 x) - - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 + (- 2 x - - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 + (- 2 x + 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Développez $(- 2 x + 1) (3 x + 3 h + 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 x (3 x) - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.8.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 \cdot 3 x \cdot x - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.8.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 \cdot 3 (x \cdot x) - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 \cdot 3 x^{2} - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 2 \cdot 3 x h - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.6

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.7

Multipliez $3 x$ par $1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 3 x + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.8

Multipliez $3 h$ par $1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 3 x + 3 h + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.9

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 3 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Additionnez $- 10 x$ et $3 x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 7 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Soustrayez $6 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{\frac{7 x + 6 h x + 10 h - 5 + 0 - 6 x h - 7 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Additionnez $7 x$ et $0$ .

$\frac{\frac{7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x h - 7 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.12

Soustrayez $7 x$ de $7 x$ .

$\frac{\frac{6 h x + 10 h - 5 - 6 x h + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.13

Soustrayez $6 x h$ de $6 h x$ .

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Étape 4.1.5.13.1

Déplacez $h$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 6 x h - 6 x h + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.13.2

Soustrayez $6 x h$ de $6 x h$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 0 + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.14

Additionnez $10 h$ et $0$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.15

Additionnez $10 h$ et $0$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.16

Additionnez $10 h$ et $3 h$ .

$\frac{\frac{13 h - 5 + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.17

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$\frac{\frac{13 h + 0}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.1.5.18

Additionnez $13 h$ et $0$ .

$\frac{\frac{13 h}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{13 h}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $h$ à partir de $13 h$ .

$\frac{h \cdot 13}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot 13}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{13}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}$

Étape 5