Pré-calcul Exemples

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{2}]$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \cot (x)$ comme une équation.

$y = \cot (x)$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $x$ valeurs des deux points.

$\frac{f (\frac{3 π}{2}) - f (\frac{2 π}{3})}{(\frac{3 π}{2}) - (\frac{2 π}{3})}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = \cot (x)$ pour $f (\frac{3 π}{2})$ et $f (\frac{2 π}{3})$ , en remplaçant $x$ dans la fonction avec la valeur $x$ correspondante.

$\frac{(\cot (\frac{3 π}{2})) - (\cot (\frac{2 π}{3}))}{(\frac{3 π}{2}) - (\frac{2 π}{3})}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $6$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3})}{\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3}}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3})}{\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3}}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{6 (\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{6 (\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{6 \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Étape 3.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{2 (3) \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{2 \cdot 3 \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{3 (3 π) + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Étape 3.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 π}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 6 \frac{- 2 π}{3}}$

Étape 3.3.3.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 3 (2) \frac{- 2 π}{3}}$

Étape 3.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 3 \cdot 2 \frac{- 2 π}{3}}$

Étape 3.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 2 (- 2 π)}$

Étape 3.3.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))$ .

$\frac{6 (\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cotangente est négative dans le quatrième quadrant.

$\frac{6 (- \cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.3

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{6 (- 0 - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{6 (0 - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.5

$\frac{6 (0 - - \cot (\frac{π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.6

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{1}{\sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.7

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.8.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.8.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.8.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.8.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.4.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}})}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.9

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 3.4.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{6 (0 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.9.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $1$ .

$\frac{6 (0 + \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Étape 3.4.10

Additionnez $0$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{6 \frac{\sqrt{3}}{3}}{9 π - 4 π}$

Étape 3.5

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.1

Soustrayez $4 π$ de $9 π$ .

$\frac{6 \frac{\sqrt{3}}{3}}{5 π}$

Étape 3.5.2

Associez $6$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3}}{3}}{5 π}$

Étape 3.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.6.1

Réduisez l’expression $\frac{6 \sqrt{3}}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3}}{5 π}$

Étape 3.6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 (1)}}{5 π}$

Étape 3.6.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{5 π}$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{1}}{5 π}$

Étape 3.6.2

Divisez $2 \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{5 π}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{3}}{5 π}$

Forme décimale :

$0.22053155 \dots$