Pré-calcul Exemples

$x^{2} + 10 x + 20$

Étape 1

Écrivez $x^{2} + 10 x + 20$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} + 10 x + 20$

Étape 2

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 3

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 3.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 10 (x + h) + 20$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 10 (x + h) + 20$

Étape 3.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 10 (x + h) + 20$

Étape 3.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 10 (x + h) + 20$

Étape 3.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 10 (x + h) + 20$

Étape 3.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 10 (x + h) + 20$

Étape 3.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 10 (x + h) + 20$

Étape 3.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 3.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 10 (x + h) + 20$

Étape 3.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 10 (x + h) + 20$

Étape 3.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 10 x + 10 h + 20$

Étape 3.1.2.2

La réponse finale est $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 10 x + 10 h + 20$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 10 x + 10 h + 20$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.2.1

Déplacez $10 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 10 h + 10 x + 20$

Étape 3.2.2

Déplacez $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 10 h + 10 x + 20$

Étape 3.2.3

Remettez dans l’ordre $2 h x$ et $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 10 h + 10 x + 20$

Étape 3.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 10 h + 10 x + 20$

$f (x) = x^{2} + 10 x + 20$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 10 h + 10 x + 20$

$f (x) = x^{2} + 10 x + 20$

Étape 4

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 10 h + 10 x + 20 - (x^{2} + 10 x + 20)}{h}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 10 h + 10 x + 20 - x^{2} - (10 x) - 1 \cdot 20}{h}$

Étape 5.1.2

Simplifiez

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 10 h + 10 x + 20 - x^{2} - 10 x - 1 \cdot 20}{h}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 10 h + 10 x + 20 - x^{2} - 10 x - 20}{h}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 10 h + 10 x + 20 + 0 - 10 x - 20}{h}$

Étape 5.1.4

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 10 h + 10 x + 20 - 10 x - 20}{h}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $10 x$ de $10 x$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 10 h + 0 + 20 - 20}{h}$

Étape 5.1.6

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 10 h + 20 - 20}{h}$

Étape 5.1.7

Soustrayez $20$ de $20$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 10 h + 0}{h}$

Étape 5.1.8

Additionnez $h^{2} + 2 h x + 10 h$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 10 h}{h}$

Étape 5.1.9

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} + 2 h x + 10 h$ .

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Étape 5.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h x + 10 h}{h}$

Étape 5.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $2 h x$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + 10 h}{h}$

Étape 5.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $10 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 10}{h}$

Étape 5.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $h (h) + h (2 x)$ .

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 10}{h}$

Étape 5.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $h (h + 2 x) + h \cdot 10$ .

$\frac{h (h + 2 x + 10)}{h}$

Étape 5.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (h + 2 x + 10)}{h}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $h + 2 x + 10$ par $1$ .

$h + 2 x + 10$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre $h$ et $2 x$ .

$2 x + h + 10$

Étape 6