Pré-calcul Exemples

$- {(t - 1)}^{2} + 5$

Étape 1

Écrivez $- {(t - 1)}^{2} + 5$ comme une fonction.

$f (t) = - {(t - 1)}^{2} + 5$

Étape 2

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Étape 3

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 3.1

Évaluez la fonction sur $x = t + h$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $t$ par $t + h$ dans l’expression.

$f (t + h) = - {((t + h) - 1)}^{2} + 5$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Réécrivez ${(t + h - 1)}^{2}$ comme $(t + h - 1) (t + h - 1)$ .

$f (t + h) = - ((t + h - 1) (t + h - 1)) + 5$

Étape 3.1.2.1.2

Développez $(t + h - 1) (t + h - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f (t + h) = - (t \cdot t + t h + t \cdot - 1 + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Étape 3.1.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.3.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$f (t + h) = - (t^{2} + t h + t \cdot - 1 + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Étape 3.1.2.1.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $t$ .

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - 1 \cdot t + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Étape 3.1.2.1.3.3

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Étape 3.1.2.1.3.4

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Étape 3.1.2.1.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $h$ .

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - 1 \cdot h - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Étape 3.1.2.1.3.6

Réécrivez $- 1 h$ comme $- h$ .

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Étape 3.1.2.1.3.7

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Étape 3.1.2.1.3.8

Réécrivez $- 1 h$ comme $- h$ .

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - h - 1 \cdot - 1) + 5$

Étape 3.1.2.1.3.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

Étape 3.1.2.1.4

Additionnez $t h$ et $h t$ .

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Étape 3.1.2.1.4.1

Remettez dans l’ordre $t$ et $h$ .

$f (t + h) = - (t^{2} + h t + h t - t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

Étape 3.1.2.1.4.2

Additionnez $h t$ et $h t$ .

$f (t + h) = - (t^{2} + 2 h t - t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

Étape 3.1.2.1.5

Soustrayez $t$ de $- t$ .

$f (t + h) = - (t^{2} + 2 h t + h^{2} - h - 2 t - h + 1) + 5$

Étape 3.1.2.1.6

Soustrayez $h$ de $- h$ .

$f (t + h) = - (t^{2} + 2 h t + h^{2} - 2 h - 2 t + 1) + 5$

Étape 3.1.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (t + h) = - t^{2} - (2 h t) - h^{2} - (- 2 h) - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

Étape 3.1.2.1.8

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1.8.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} - (- 2 h) - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

Étape 3.1.2.1.8.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

Étape 3.1.2.1.8.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 \cdot 1 + 5$

Étape 3.1.2.1.8.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 + 5$

$f (t + h) = - t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 + 5$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$f (t + h) = - t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $- t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$ .

$- t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.2.1

Déplacez $- t^{2}$ .

$- 2 h t - h^{2} - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Étape 3.2.2

Remettez dans l’ordre $- 2 h t$ et $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Étape 3.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (t + h) = - h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

$f (t) = - t^{2} + 2 t + 4$

$f (t + h) = - h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

$f (t) = - t^{2} + 2 t + 4$

Étape 4

Insérez les composants.

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 - (- t^{2} + 2 t + 4)}{h}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 - - t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

Étape 5.1.2

Simplifiez

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- - t^{2}$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + 1 t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

Étape 5.1.2.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - 2 t - 1 \cdot 4}{h}$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - 2 t - 4}{h}$

Étape 5.1.3

Additionnez $- t^{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 2 t + 4 + 0 - 2 t - 4}{h}$

Étape 5.1.4

Additionnez $- h^{2}$ et $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 2 t + 4 - 2 t - 4}{h}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $2 t$ de $2 t$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 0 + 4 - 4}{h}$

Étape 5.1.6

Additionnez $- h^{2}$ et $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 4 - 4}{h}$

Étape 5.1.7

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 0}{h}$

Étape 5.1.8

Additionnez $- h^{2} - 2 h t + 2 h$ et $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h}{h}$

Étape 5.1.9

Factorisez $h$ à partir de $- h^{2} - 2 h t + 2 h$ .

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Étape 5.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $- h^{2}$ .

$\frac{h (- h) - 2 h t + 2 h}{h}$

Étape 5.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $- 2 h t$ .

$\frac{h (- h) + h (- 2 t) + 2 h}{h}$

Étape 5.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $2 h$ .

$\frac{h (- h) + h (- 2 t) + h \cdot 2}{h}$

Étape 5.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $h (- h) + h (- 2 t)$ .

$\frac{h (- h - 2 t) + h \cdot 2}{h}$

Étape 5.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $h (- h - 2 t) + h \cdot 2$ .

$\frac{h (- h - 2 t + 2)}{h}$

Étape 5.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (- h - 2 t + 2)}{h}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $- h - 2 t + 2$ par $1$ .

$- h - 2 t + 2$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre $- h$ et $- 2 t$ .

$- 2 t - h + 2$

Étape 6