Pré-calcul Exemples

$f (t) = \frac{94 t}{99 t - 94}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = t + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $t$ par $t + h$ dans l’expression.

$f (t + h) = \frac{94 (t + h)}{99 (t + h) - 94}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (t + h) = \frac{94 (t + h)}{99 t + 99 h - 94}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{94 (t + h)}{99 t + 99 h - 94}$ .

$\frac{94 (t + h)}{99 t + 99 h - 94}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (t + h) = \frac{94 (t + h)}{99 t + 99 h - 94}$

$f (t) = \frac{94 t}{99 t - 94}$

$f (t + h) = \frac{94 (t + h)}{99 t + 99 h - 94}$

$f (t) = \frac{94 t}{99 t - 94}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{\frac{94 (t + h)}{99 t + 99 h - 94} - (\frac{94 t}{99 t - 94})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{94 (t + h)}{99 t + 99 h - 94}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{99 t - 94}{99 t - 94}$ .

$\frac{\frac{94 (t + h)}{99 t + 99 h - 94} \cdot \frac{99 t - 94}{99 t - 94} - \frac{94 t}{99 t - 94}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{94 t}{99 t - 94}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{99 t + 99 h - 94}{99 t + 99 h - 94}$ .

$\frac{\frac{94 (t + h)}{99 t + 99 h - 94} \cdot \frac{99 t - 94}{99 t - 94} - \frac{94 t}{99 t - 94} \cdot \frac{99 t + 99 h - 94}{99 t + 99 h - 94}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{94 (t + h)}{99 t + 99 h - 94}$ par $\frac{99 t - 94}{99 t - 94}$ .

$\frac{\frac{94 (t + h) (99 t - 94)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)} - \frac{94 t}{99 t - 94} \cdot \frac{99 t + 99 h - 94}{99 t + 99 h - 94}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{94 t}{99 t - 94}$ par $\frac{99 t + 99 h - 94}{99 t + 99 h - 94}$ .

$\frac{\frac{94 (t + h) (99 t - 94)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)} - \frac{94 t (99 t + 99 h - 94)}{(99 t - 94) (99 t + 99 h - 94)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(99 t - 94) (99 t + 99 h - 94)$ .

$\frac{\frac{94 (t + h) (99 t - 94)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)} - \frac{94 t (99 t + 99 h - 94)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{94 (t + h) (99 t - 94) - 94 t (99 t + 99 h - 94)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{94 (t + h) (99 t - 94) - 94 t (99 t + 99 h - 94)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $94$ à partir de $94 (t + h) (99 t - 94) - 94 t (99 t + 99 h - 94)$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Factorisez $94$ à partir de $94 (t + h) (99 t - 94)$ .

$\frac{\frac{94 ((t + h) (99 t - 94)) - 94 t (99 t + 99 h - 94)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez $94$ à partir de $- 94 t (99 t + 99 h - 94)$ .

$\frac{\frac{94 ((t + h) (99 t - 94)) + 94 (- t (99 t + 99 h - 94))}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.3

Factorisez $94$ à partir de $94 ((t + h) (99 t - 94)) + 94 (- t (99 t + 99 h - 94))$ .

$\frac{\frac{94 ((t + h) (99 t - 94) - t (99 t + 99 h - 94))}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Développez $(t + h) (99 t - 94)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{94 (t (99 t - 94) + h (99 t - 94) - t (99 t + 99 h - 94))}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{94 (t (99 t) + t \cdot - 94 + h (99 t - 94) - t (99 t + 99 h - 94))}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{94 (t (99 t) + t \cdot - 94 + h (99 t) + h \cdot - 94 - t (99 t + 99 h - 94))}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{94 (99 t \cdot t + t \cdot - 94 + h (99 t) + h \cdot - 94 - t (99 t + 99 h - 94))}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.2

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.3.2.1

Déplacez $t$ .

$\frac{\frac{94 (99 (t \cdot t) + t \cdot - 94 + h (99 t) + h \cdot - 94 - t (99 t + 99 h - 94))}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.2.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{\frac{94 (99 t^{2} + t \cdot - 94 + h (99 t) + h \cdot - 94 - t (99 t + 99 h - 94))}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.3

Déplacez $- 94$ à gauche de $t$ .

$\frac{\frac{94 (99 t^{2} - 94 \cdot t + h (99 t) + h \cdot - 94 - t (99 t + 99 h - 94))}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{94 (99 t^{2} - 94 t + 99 h t + h \cdot - 94 - t (99 t + 99 h - 94))}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.5

Déplacez $- 94$ à gauche de $h$ .

$\frac{\frac{94 (99 t^{2} - 94 t + 99 h t - 94 h - t (99 t + 99 h - 94))}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{94 (99 t^{2} - 94 t + 99 h t - 94 h - t (99 t) - t (99 h) - t \cdot - 94)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{94 (99 t^{2} - 94 t + 99 h t - 94 h - 1 \cdot 99 t \cdot t - t (99 h) - t \cdot - 94)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{94 (99 t^{2} - 94 t + 99 h t - 94 h - 1 \cdot 99 t \cdot t - 1 \cdot 99 t h - t \cdot - 94)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.3

Multipliez $- 94$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{94 (99 t^{2} - 94 t + 99 h t - 94 h - 1 \cdot 99 t \cdot t - 1 \cdot 99 t h + 94 t)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.6.1

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.6.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{\frac{94 (99 t^{2} - 94 t + 99 h t - 94 h - 1 \cdot 99 (t \cdot t) - 1 \cdot 99 t h + 94 t)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{\frac{94 (99 t^{2} - 94 t + 99 h t - 94 h - 1 \cdot 99 t^{2} - 1 \cdot 99 t h + 94 t)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.2

Multipliez $- 1$ par $99$ .

$\frac{\frac{94 (99 t^{2} - 94 t + 99 h t - 94 h - 99 t^{2} - 1 \cdot 99 t h + 94 t)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.3

Multipliez $- 1$ par $99$ .

$\frac{\frac{94 (99 t^{2} - 94 t + 99 h t - 94 h - 99 t^{2} - 99 t h + 94 t)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Soustrayez $99 t^{2}$ de $99 t^{2}$ .

$\frac{\frac{94 (- 94 t + 99 h t - 94 h + 0 - 99 t h + 94 t)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Additionnez $- 94 t$ et $0$ .

$\frac{\frac{94 (- 94 t + 99 h t - 94 h - 99 t h + 94 t)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Additionnez $- 94 t$ et $94 t$ .

$\frac{\frac{94 (99 h t - 94 h - 99 t h + 0)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Additionnez $99 h t - 94 h - 99 t h$ et $0$ .

$\frac{\frac{94 (99 h t - 94 h - 99 t h)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Soustrayez $99 t h$ de $99 h t$ .

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Étape 4.1.5.11.1

Déplacez $h$ .

$\frac{\frac{94 (- 94 h + 99 t h - 99 t h)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.11.2

Soustrayez $99 t h$ de $99 t h$ .

$\frac{\frac{94 (- 94 h + 0)}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.12

Additionnez $- 94 h$ et $0$ .

$\frac{\frac{94 \cdot - 94 h}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.5.13

Multipliez $94$ par $- 94$ .

$\frac{\frac{- 8836 h}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{8836 h}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{8836 h}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8836 h}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 8836 h}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- 8836 h$ .

$\frac{h \cdot - 8836}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot - 8836}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 8836}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8836}{(99 t + 99 h - 94) (99 t - 94)}$

Étape 5