Pré-calcul Exemples

$r (x) = 65 x^{\frac{9}{10}}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$r (x + h) = 65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

Étape 2.1.2

La réponse finale est $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$ .

$65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$r (x + h) = 65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

$r (x) = 65 x^{\frac{9}{10}}$

$r (x + h) = 65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

$r (x) = 65 x^{\frac{9}{10}}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{r (x + h) - r x}{h} = \frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - (65 x^{\frac{9}{10}})}{h}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $65$ .

$\frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}}{h}$

Étape 4.2

Réécrivez $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.1

Factorisez $65$ à partir de $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $65$ à partir de $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$ .

$\frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}}{h}$

Étape 4.2.1.2

Factorisez $65$ à partir de $- 65 x^{\frac{9}{10}}$ .

$\frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} + 65 (- x^{\frac{9}{10}})}{h}$

Étape 4.2.1.3

Factorisez $65$ à partir de $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} + 65 (- x^{\frac{9}{10}})$ .

$\frac{65 ({(x + h)}^{\frac{9}{10}} - x^{\frac{9}{10}})}{h}$

Étape 4.2.2

Réécrivez ${(x + h)}^{\frac{9}{10}}$ comme ${({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{3}$ .

$\frac{65 ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{3} - x^{\frac{9}{10}})}{h}$

Étape 4.2.3

Réécrivez $x^{\frac{9}{10}}$ comme ${(x^{\frac{3}{10}})}^{3}$ .

$\frac{65 ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{3} - {(x^{\frac{3}{10}})}^{3})}{h}$

Étape 4.2.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = {(x + h)}^{\frac{3}{10}}$ et $b = x^{\frac{3}{10}}$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{3}{10}} - x^{\frac{3}{10}}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5

Simplifiez

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Étape 4.2.5.1

Réécrivez ${(x + h)}^{\frac{3}{10}}$ comme ${({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{3}$ .

$\frac{65 (({({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{3} - x^{\frac{3}{10}}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez $x^{\frac{3}{10}}$ comme ${(x^{\frac{1}{10}})}^{3}$ .

$\frac{65 (({({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{3} - {(x^{\frac{1}{10}})}^{3}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = {(x + h)}^{\frac{1}{10}}$ et $b = x^{\frac{1}{10}}$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.4

Simplifiez

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Étape 4.2.5.4.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.5.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{10} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.4.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2 (5)} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{10}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.5.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{10} \cdot 2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{2 (5)} \cdot 2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot 2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.5

Multipliez les exposants dans ${({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.5.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{10} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{2 (5)} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{2 \cdot 5} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{5}} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{10}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.5.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Étape 4.2.5.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

Étape 4.2.5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.2.5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{65 ({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{5}} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + x^{\frac{3}{5}})}{h}$

Étape 5