Pré-calcul Exemples

$y = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

Étape 1

Écrivez $y = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$ comme une fonction.

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

Étape 2

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 3

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 3.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 0.03 {(x + h)}^{2} + 11 (x + h) + 1$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 0.03 ((x + h) (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

Étape 3.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 0.03 (x (x + h) + h (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

Étape 3.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 0.03 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

Étape 3.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 0.03 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 11 (x + h) + 1$

Étape 3.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 11 (x + h) + 1$

Étape 3.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

Étape 3.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 3.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

Étape 3.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

Étape 3.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.03 (2 h x) + 0.03 h^{2} + 11 (x + h) + 1$

Étape 3.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $0.03$ .

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.06 (h x) + 0.03 h^{2} + 11 (x + h) + 1$

Étape 3.1.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$

Étape 3.1.2.2

La réponse finale est $0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$ .

$0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.2.1

Déplacez $11 x$ .

$0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 h + 11 x + 1$

Étape 3.2.2

Déplacez $0.03 x^{2}$ .

$0.06 h x + 0.03 h^{2} + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

Étape 3.2.3

Remettez dans l’ordre $0.06 h x$ et $0.03 h^{2}$ .

$0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

Étape 3.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

$f (x + h) = 0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

Étape 4

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Factorisez $0.01$ à partir de $0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)$ .

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Étape 5.1.1.1

Déplacez $h$ .

$\frac{0.03 h^{2} + 0.06 x h + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Étape 5.1.1.2

Factorisez $0.01$ à partir de $0.03 h^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.06 x h + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Étape 5.1.1.3

Factorisez $0.01$ à partir de $0.06 x h$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Étape 5.1.1.4

Factorisez $0.01$ à partir de $0.03 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Étape 5.1.1.5

Factorisez $0.01$ à partir de $11 h$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Étape 5.1.1.6

Factorisez $0.01$ à partir de $11 x$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Étape 5.1.1.7

Factorisez $0.01$ à partir de $1$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Étape 5.1.1.8

Factorisez $0.01$ à partir de $- (0.03 x^{2} + 11 x + 1)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Étape 5.1.1.9

Factorisez $0.01$ à partir de $0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Étape 5.1.1.10

Factorisez $0.01$ à partir de $0.01 (3 h^{2} + 6 x h) + 0.01 (3 x^{2})$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Étape 5.1.1.11

Factorisez $0.01$ à partir de $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2}) + 0.01 (1100 h)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Étape 5.1.1.12

Factorisez $0.01$ à partir de $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h) + 0.01 (1100 x)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Étape 5.1.1.13

Factorisez $0.01$ à partir de $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x) + 0.01 (100)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Étape 5.1.1.14

Factorisez $0.01$ à partir de $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 100 (0.03 x^{2}) - 100 (11 x) - 100 \cdot 1)}{h}$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Multipliez $0.03$ par $- 100$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 100 (11 x) - 100 \cdot 1)}{h}$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $11$ par $- 100$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 1100 x - 100 \cdot 1)}{h}$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 100$ par $1$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 1100 x - 100)}{h}$

Étape 5.1.4

Soustrayez $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 1100 x - 100)}{h}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $1100 x$ de $1100 x$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 0 + 100 - 100)}{h}$

Étape 5.1.6

Additionnez $3 h^{2}$ et $0$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 100 - 100)}{h}$

Étape 5.1.7

Soustrayez $100$ de $100$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 0)}{h}$

Étape 5.1.8

Additionnez $3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h$ et $0$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Étape 5.1.9

Réécrivez $3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h$ en forme factorisée.

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Étape 5.1.9.1

Factorisez $3 h$ à partir de $3 h^{2} + 6 x h$ .

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Étape 5.1.9.1.1

Factorisez $3 h$ à partir de $3 h^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h \cdot h + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Étape 5.1.9.1.2

Factorisez $3 h$ à partir de $6 x h$ .

$\frac{0.01 (3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Étape 5.1.9.1.3

Factorisez $3 h$ à partir de $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Étape 5.1.9.2

Factorisez $1100$ à partir de $0 x^{2} + 1100 h$ .

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Étape 5.1.9.2.1

Factorisez $1100$ à partir de $0 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2}) + 1100 h)}{h}$

Étape 5.1.9.2.2

Factorisez $1100$ à partir de $1100 h$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2}) + 1100 h)}{h}$

Étape 5.1.9.2.3

Factorisez $1100$ à partir de $1100 (0 x^{2}) + 1100 h$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2} + h))}{h}$

Étape 5.1.9.3

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 + h))}{h}$

Étape 5.1.9.4

Additionnez $0$ et $h$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 h)}{h}$

Étape 5.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $3 h (h + 2 x) + 1100 h$ .

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Étape 5.1.9.5.1

Factorisez $h$ à partir de $3 h (h + 2 x)$ .

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x)) + 1100 h)}{h}$

Étape 5.1.9.5.2

Factorisez $h$ à partir de $1100 h$ .

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x)) + h \cdot 1100)}{h}$

Étape 5.1.9.5.3

Factorisez $h$ à partir de $h (3 (h + 2 x)) + h \cdot 1100$ .

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x) + 1100))}{h}$

Étape 5.1.9.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0.01 (h (3 h + 3 (2 x) + 1100))}{h}$

Étape 5.1.9.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{0.01 (h (3 h + 6 x + 1100))}{h}$

$\frac{0.01 h (3 h + 6 x + 1100)}{h}$

Étape 5.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.01 h (3 h + 6 x + 1100)}{h}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $0.01 (3 h + 6 x + 1100)$ par $1$ .

$0.01 (3 h + 6 x + 1100)$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$0.01 (3 h) + 0.01 (6 x) + 0.01 \cdot 1100$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Multipliez $3$ par $0.01$ .

$0.03 h + 0.01 (6 x) + 0.01 \cdot 1100$

Étape 5.3.2

Multipliez $6$ par $0.01$ .

$0.03 h + 0.06 x + 0.01 \cdot 1100$

Étape 5.3.3

Multipliez $0.01$ par $1100$ .

$0.03 h + 0.06 x + 11$

Étape 5.4

Remettez dans l’ordre $0.03 h$ et $0.06 x$ .

$0.06 x + 0.03 h + 11$

Étape 6