Pré-calcul Exemples

$- \frac{x^{2}}{4} + 7$

Étape 1

Écrivez $- \frac{x^{2}}{4} + 7$ comme une fonction.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

Étape 2

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 3

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 3.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + 7$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + 7 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1.2.2.1

Associez $7$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Étape 3.1.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.3.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{- ((x + h) (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

Étape 3.1.2.3.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{- (x (x + h) + h (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

Étape 3.1.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{- (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

Étape 3.1.2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{- (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 7 \cdot 4}{4}$

Étape 3.1.2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 7 \cdot 4}{4}$

Étape 3.1.2.3.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

Étape 3.1.2.3.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 3.1.2.3.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

Étape 3.1.2.3.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

Étape 3.1.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - (2 h x) - h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Étape 3.1.2.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Étape 3.1.2.3.6

Multipliez $7$ par $4$ .

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 28}{4}$

Étape 3.1.2.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.1.2.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2}) - 2 h x - h^{2} + 28}{4}$

Étape 3.1.2.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2}) - (2 h x) - h^{2} + 28}{4}$

Étape 3.1.2.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (2 h x)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x) - h^{2} + 28}{4}$

Étape 3.1.2.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x) - (h^{2}) + 28}{4}$

Étape 3.1.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 2 h x) - (h^{2})$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 28}{4}$

Étape 3.1.2.4.6

Réécrivez $28$ comme $- 1 (- 28)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 1 \cdot - 28}{4}$

Étape 3.1.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 1 (- 28)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)}{4}$

Étape 3.1.2.4.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.4.8.1

Réécrivez $- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)$ comme $- 1 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)}{4}$

Étape 3.1.2.4.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

Étape 3.1.2.5

La réponse finale est $- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$ .

$- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

Étape 3.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

Étape 4

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} - (- \frac{x^{2}}{4} + 7)}{h}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} - - \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- - \frac{x^{2}}{4}$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + 1 \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $\frac{x^{2}}{4}$ par $1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + \frac{x^{2}}{4} - 7}{h}$

Étape 5.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28) + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Étape 5.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- x^{2} - (2 h x) - h^{2} - - 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Étape 5.1.5.2

Simplifiez

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Étape 5.1.5.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - - 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Étape 5.1.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 28$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Étape 5.1.5.3

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 + 0}{4} - 7}{h}$

Étape 5.1.5.4

Additionnez $- 2 h x - h^{2} + 28$ et $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} - 7}{h}$

Étape 5.1.6

Pour écrire $- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} - 7 \cdot \frac{4}{4}}{h}$

Étape 5.1.7

Associez $- 7$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}}{h}$

Étape 5.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 - 7 \cdot 4}{4}}{h}$

Étape 5.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.9.1

Multipliez $- 7$ par $4$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 - 28}{4}}{h}$

Étape 5.1.9.2

Soustrayez $28$ de $28$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 0}{4}}{h}$

Étape 5.1.9.3

Additionnez $- 2 h x - h^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2}}{4}}{h}$

Étape 5.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $- 2 h x - h^{2}$ .

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Étape 5.1.9.4.1

Factorisez $h$ à partir de $- 2 h x$ .

$\frac{\frac{h (- 2 x) - h^{2}}{4}}{h}$

Étape 5.1.9.4.2

Factorisez $h$ à partir de $- h^{2}$ .

$\frac{\frac{h (- 2 x) + h (- h)}{4}}{h}$

Étape 5.1.9.4.3

Factorisez $h$ à partir de $h (- 2 x) + h (- h)$ .

$\frac{\frac{h (- 2 x - h)}{4}}{h}$

Étape 5.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{h (- 2 x - h)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (- 2 x - h)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x - h}{4}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - h}{4}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - h$ .

$\frac{- (2 x + h)}{4}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Réécrivez $- (2 x + h)$ comme $- 1 (2 x + h)$ .

$\frac{- 1 (2 x + h)}{4}$

Étape 5.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x + h}{4}$

Étape 6