Pré-calcul Exemples

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}]$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \cot (x)$ comme une équation.

$y = \cot (x)$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $x$ valeurs des deux points.

$\frac{f (\frac{5 π}{4}) - f (\frac{3 π}{4})}{(\frac{5 π}{4}) - (\frac{3 π}{4})}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = \cot (x)$ pour $f (\frac{5 π}{4})$ et $f (\frac{3 π}{4})$ , en remplaçant $x$ dans la fonction avec la valeur $x$ correspondante.

$\frac{(\cot (\frac{5 π}{4})) - (\cot (\frac{3 π}{4}))}{(\frac{5 π}{4}) - (\frac{3 π}{4})}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $4$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4})}{\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4}}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4})}{\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4}}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{4 (\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 (\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 \frac{5 π}{4} + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

Étape 3.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 \frac{5 π}{4} + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 π}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 \frac{- 3 π}{4}}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 \frac{- 3 π}{4}}$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))$ .

$\frac{4 (\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Étape 3.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{4 (\cot (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Étape 3.4.3

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{4 (1 - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Étape 3.4.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cotangente est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{4 (1 - - \cot (\frac{π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Étape 3.4.5

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{4 (1 - (- 1 \cdot 1))}{5 π - 3 π}$

Étape 3.4.6

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 3.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 (1 - - 1)}{5 π - 3 π}$

Étape 3.4.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4 (1 + 1)}{5 π - 3 π}$

Étape 3.4.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 \cdot 2}{5 π - 3 π}$

Étape 3.5

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.1

Soustrayez $3 π$ de $5 π$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2 π}$

Étape 3.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8}{2 π}$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 3.5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 π}$

Étape 3.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (π)}$

Étape 3.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 4}{2 π}$

Étape 3.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{π}$