Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 2 x - 4$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2} - 2 (x + h) - 4$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - {(x + h)}^{2} - 2 (x + h) - 4$

Étape 2.1.2.1.2

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - ((x + h) (x + h)) - 2 (x + h) - 4$

Étape 2.1.2.1.3

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - (x (x + h) + h (x + h)) - 2 (x + h) - 4$

Étape 2.1.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 2 (x + h) - 4$

Étape 2.1.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 2 (x + h) - 4$

Étape 2.1.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 2 (x + h) - 4$

Étape 2.1.2.1.4.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 2 (x + h) - 4$

Étape 2.1.2.1.4.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 2 (x + h) - 4$

Étape 2.1.2.1.4.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 2 (x + h) - 4$

Étape 2.1.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - 2 (x + h) - 4$

Étape 2.1.2.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 2 (x + h) - 4$

Étape 2.1.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 2 x - 2 h - 4$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 2 x - 2 h - 4$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 2 x - 2 h - 4$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 2 x - 2 h - 4$

Étape 2.2.2

Déplacez $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 2 x - 2 h - 4$

Étape 2.2.3

Déplacez $- 2 x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 2 h - 2 x - 4$

Étape 2.2.4

Déplacez $- x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 h x - h^{2} - x^{2} - 2 h - 2 x - 4$

Étape 2.2.5

Déplacez $- 2 h x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4$

Étape 2.2.6

Déplacez $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4$

Étape 2.2.7

Déplacez $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4$

Étape 2.2.8

Remettez dans l’ordre $3 h^{2} x$ et $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4$

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 2 x - 4$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4$

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 2 x - 4$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 - (x^{3} - x^{2} - 2 x - 4)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 - x^{3} - - x^{2} - (- 2 x) - - 4}{h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- - x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 - x^{3} + 1 x^{2} - (- 2 x) - - 4}{h}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 - x^{3} + x^{2} - (- 2 x) - - 4}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 - x^{3} + x^{2} + 2 x - - 4}{h}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 - x^{3} + x^{2} + 2 x + 4}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 + 0 + x^{2} + 2 x + 4}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $h^{3}$ et $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 + x^{2} + 2 x + 4}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h - 2 x - 4 + 0 + 2 x + 4}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $h^{3}$ et $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h - 2 x - 4 + 2 x + 4}{h}$

Étape 4.1.7

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h + 0 - 4 + 4}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $h^{3}$ et $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h - 4 + 4}{h}$

Étape 4.1.9

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h + 0}{h}$

Étape 4.1.10

Additionnez $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h$ et $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h}{h}$

Étape 4.1.11

Factorisez $h$ à partir de $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h$ .

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Étape 4.1.11.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h}{h}$

Étape 4.1.11.2

Factorisez $h$ à partir de $3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h}{h}$

Étape 4.1.11.3

Factorisez $h$ à partir de $3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - h^{2} - 2 h x - 2 h}{h}$

Étape 4.1.11.4

Factorisez $h$ à partir de $- h^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- h) - 2 h x - 2 h}{h}$

Étape 4.1.11.5

Factorisez $h$ à partir de $- 2 h x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) - 2 h}{h}$

Étape 4.1.11.6

Factorisez $h$ à partir de $- 2 h$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot - 2}{h}$

Étape 4.1.11.7

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot - 2}{h}$

Étape 4.1.11.8

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot - 2}{h}$

Étape 4.1.11.9

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h) + h (- 2 x) + h \cdot - 2}{h}$

Étape 4.1.11.10

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h) + h (- 2 x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h - 2 x) + h \cdot - 2}{h}$

Étape 4.1.11.11

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h - 2 x) + h \cdot - 2$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h - 2 x - 2)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h - 2 x - 2)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h - 2 x - 2$ par $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h - 2 x - 2$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - h - 2 x - 2$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $- h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 2 x - h - 2$

Étape 4.2.2.3

Déplacez $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 2 x - h - 2$

Étape 4.2.2.4

Remettez dans l’ordre $3 x h$ et $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 2 x - h - 2$

Étape 5