Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 {(x - 2)}^{2} + 1$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 2 {((x + h) - 2)}^{2} + 1$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h - 2)}^{2}$ comme $(x + h - 2) (x + h - 2)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h - 2) (x + h - 2)) + 1$

Étape 2.1.2.1.2

Développez $(x + h - 2) (x + h - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + x \cdot - 2 + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + x \cdot - 2 + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Étape 2.1.2.1.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Étape 2.1.2.1.3.3

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Étape 2.1.2.1.3.4

Déplacez $- 2$ à gauche de $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} - 2 \cdot h - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Étape 2.1.2.1.3.5

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

Étape 2.1.2.1.4

Additionnez $x h$ et $h x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.4.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x - 2 x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

Étape 2.1.2.1.4.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x - 2 x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

Étape 2.1.2.1.5

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 4) + 1$

Étape 2.1.2.1.6

Soustrayez $2 h$ de $- 2 h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 4 h - 4 x + 4) + 1$

Étape 2.1.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + 2 (- 4 h) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 2.1.2.1.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.8.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} + 2 (- 4 h) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 2.1.2.1.8.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 2.1.2.1.8.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 2.1.2.1.8.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 8 + 1$

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 8 + 1$

Étape 2.1.2.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Déplacez $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $4 h x$ et $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 9$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 9$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - (2 x^{2} - 8 x + 9)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - (2 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 9}{h}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} + 8 x - 9}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h - 8 x + 9 + 0 + 8 x - 9}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $2 h^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h - 8 x + 9 + 8 x - 9}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- 8 x$ et $8 x$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $2 h^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 9 - 9}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 0}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $2 h^{2} + 4 h x - 8 h$ et $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h}{h}$

Étape 4.1.9

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h^{2} + 4 h x - 8 h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.9.1

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h^{2}$ .

$\frac{2 h \cdot h + 4 h x - 8 h}{h}$

Étape 4.1.9.2

Factorisez $2 h$ à partir de $4 h x$ .

$\frac{2 h \cdot h + 2 h (2 x) - 8 h}{h}$

Étape 4.1.9.3

Factorisez $2 h$ à partir de $- 8 h$ .

$\frac{2 h \cdot h + 2 h (2 x) + 2 h \cdot - 4}{h}$

Étape 4.1.9.4

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h \cdot h + 2 h (2 x)$ .

$\frac{2 h (h + 2 x) + 2 h \cdot - 4}{h}$

Étape 4.1.9.5

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h (h + 2 x) + 2 h \cdot - 4$ .

$\frac{2 h (h + 2 x - 4)}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 h (h + 2 x - 4)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $2 (h + 2 x - 4)$ par $1$ .

$2 (h + 2 x - 4)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 h + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4$

Étape 4.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 h + 4 x + 2 \cdot - 4$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$2 h + 4 x - 8$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $2 h$ et $4 x$ .

$4 x + 2 h - 8$

Étape 5