Pré-calcul Exemples

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 9}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = t + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $t$ par $t + h$ dans l’expression.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{{(t + h)}^{2} + 9}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez ${(t + h)}^{2}$ comme $(t + h) (t + h)$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{(t + h) (t + h) + 9}$

Étape 2.1.2.1.2

Développez $(t + h) (t + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t (t + h) + h (t + h) + 9}$

Étape 2.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t \cdot t + t h + h (t + h) + 9}$

Étape 2.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t \cdot t + t h + h t + h \cdot h + 9}$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.3.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + t h + h t + h \cdot h + 9}$

Étape 2.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + t h + h t + h^{2} + 9}$

Étape 2.1.2.1.3.2

Additionnez $t h$ et $h t$ .

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $t$ et $h$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + h t + h t + h^{2} + 9}$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h t$ et $h t$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$ .

$\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 9}$

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 9}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{C (t + h) - C t}{h} = \frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9} - (\frac{0.2 t}{t^{2} + 9})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9} \cdot \frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 9}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{0.2 t}{t^{2} + 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9} \cdot \frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 9} \cdot \frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$ par $\frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 9} \cdot \frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{0.2 t}{t^{2} + 9}$ par $\frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)} - \frac{0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9)}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(t^{2} + 9) (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9)$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)} - \frac{0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 9) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 9) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $0.2$ à partir de $0.2 (t + h) (t^{2} + 9) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9)$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Déplacez $h$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 9) - 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez $0.2$ à partir de $0.2 (t + h) (t^{2} + 9)$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 9)) - 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.3

Factorisez $0.2$ à partir de $- 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9)$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 9)) + 0.2 (- t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.4

Factorisez $0.2$ à partir de $0.2 ((t + h) (t^{2} + 9)) + 0.2 (- t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 9) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Développez $(t + h) (t^{2} + 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{0.2 (t (t^{2} + 9) + h (t^{2} + 9) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{0.2 (t \cdot t^{2} + t \cdot 9 + h (t^{2} + 9) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{0.2 (t \cdot t^{2} + t \cdot 9 + h t^{2} + h \cdot 9 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.3.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.3.1.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 4.1.5.3.1.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{1} t^{2} + t \cdot 9 + h t^{2} + h \cdot 9 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{0.2 (t^{1 + 2} + t \cdot 9 + h t^{2} + h \cdot 9 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + t \cdot 9 + h t^{2} + h \cdot 9 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.2

Déplacez $9$ à gauche de $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 \cdot t + h t^{2} + h \cdot 9 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.3

Déplacez $9$ à gauche de $h$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t \cdot t^{2} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.5.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.5.1.1

Déplacez $t^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - (t^{2} t) - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 4.1.5.5.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - (t^{2} t^{1}) - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t^{2 + 1} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t^{3} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.2

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.5.2.1

Déplacez $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t^{3} - (t \cdot t) (2 h) - t h^{2} - t \cdot 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.2.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t^{3} - t^{2} (2 h) - t h^{2} - t \cdot 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t^{3} - t^{2} (2 h) - t h^{2} - 9 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{2} h - t h^{2} - 9 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t^{3} - 2 t^{2} h - t h^{2} - 9 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Soustrayez $t^{3}$ de $t^{3}$ .

$\frac{\frac{0.2 (9 t + h t^{2} + 9 h + 0 - 2 t^{2} h - t h^{2} - 9 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Additionnez $9 t$ et $0$ .

$\frac{\frac{0.2 (9 t + h t^{2} + 9 h - 2 t^{2} h - t h^{2} - 9 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Soustrayez $9 t$ de $9 t$ .

$\frac{\frac{0.2 (h t^{2} + 9 h - 2 t^{2} h - t h^{2} + 0)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Additionnez $h t^{2} + 9 h - 2 t^{2} h - t h^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{0.2 (h t^{2} + 9 h - 2 t^{2} h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Soustrayez $2 t^{2} h$ de $h t^{2}$ .

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Étape 4.1.5.11.1

Remettez dans l’ordre $h$ et $t^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{2} h - 2 t^{2} h + 9 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.11.2

Soustrayez $2 t^{2} h$ de $t^{2} h$ .

$\frac{\frac{0.2 (- t^{2} h + 9 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.12

Factorisez $h$ à partir de $- t^{2} h + 9 h - t h^{2}$ .

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Étape 4.1.5.12.1

Factorisez $h$ à partir de $- t^{2} h$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + 9 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.12.2

Factorisez $h$ à partir de $9 h$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + h \cdot 9 - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.12.3

Factorisez $h$ à partir de $- t h^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + h \cdot 9 + h (- t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.12.4

Factorisez $h$ à partir de $h (- t^{2}) + h \cdot 9$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2} + 9) + h (- t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.12.5

Factorisez $h$ à partir de $h (- t^{2} + 9) + h (- t h)$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2} + 9 - t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

$\frac{\frac{0.2 h (- t^{2} + 9 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 9 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Associez.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 9 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9) h}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 9 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9) h}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0.2 (- t^{2} + 9 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Étape 4.5

Multipliez $0.2$ par $1$ .

$\frac{0.2 (- t^{2} + 9 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- t^{2}$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2}) + 9 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Étape 4.7

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2}) - 1 (- 9) - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Étape 4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{2}) - 1 (- 9)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 9) - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Étape 4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- t h$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 9) - (t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Étape 4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{2} - 9) - (t h)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 9 + t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Étape 4.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.11.1

Réécrivez $- (t^{2} - 9 + t h)$ comme $- 1 (t^{2} - 9 + t h)$ .

$\frac{0.2 (- 1 (t^{2} - 9 + t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Étape 4.11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{0.2 (t^{2} - 9 + t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Étape 5