Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{3}{(x + h) - 2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = \frac{3}{x + h - 2}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{3}{x + h - 2}$ .

$\frac{3}{x + h - 2}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{3}{x + h - 2}$

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

$f (x + h) = \frac{3}{x + h - 2}$

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{x + h - 2} - (\frac{3}{x - 2})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{3}{x + h - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x + h - 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{3}{x - 2}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{3}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h - 2}{x + h - 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x + h - 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{3}{x - 2} \cdot \frac{x + h - 2}{x + h - 2}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h - 2) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{3}{x + h - 2}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)} - \frac{3}{x - 2} \cdot \frac{x + h - 2}{x + h - 2}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{3}{x - 2}$ par $\frac{x + h - 2}{x + h - 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)} - \frac{3 (x + h - 2)}{(x - 2) (x + h - 2)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + h - 2)$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)} - \frac{3 (x + h - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 (x - 2) - 3 (x + h - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{3 (x - 2) - 3 (x + h - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 (x - 2) - 3 (x + h - 2)$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 (x + h - 2)$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2) + 3 (- (x + h - 2))}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (x - 2) + 3 (- (x + h - 2))$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2 - (x + h - 2))}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 (x - 2 - x - h - - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2 - x - h + 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{3 (0 - 2 - h + 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{\frac{3 (- 2 - h + 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{\frac{3 (- h + 0)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Additionnez $- h$ et $0$ .

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 h}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Associez les exposants.

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Étape 4.1.5.8.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{\frac{- (3 h)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 h}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Étape 4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{3 h}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{3 h}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 h}{(x + h - 2) (x - 2)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3 h}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h$ .

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{(x + h - 2) (x - 2)}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{(x + h - 2) (x - 2)}$

Étape 5