Pré-calcul Exemples

Given the function $h (x) = - x^{2} + x + 4$ , determine the average rate of change of the function over the interval $- 1 \leq x \leq 5$

Étape 1

Écrivez $h (x) = - x^{2} + x + 4$ comme une équation.

$y = - x^{2} + x + 4$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $x$ valeurs des deux points.

$\frac{f (5) - f (- 1)}{(5) - (- 1)}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = - x^{2} + x + 4$ pour $f (5)$ et $f (- 1)$ , en remplaçant $x$ dans la fonction avec la valeur $x$ correspondante.

$\frac{- {(5)}^{2} + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{(5) - (- 1)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- {(5)}^{2} + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{(5) - (- 1)}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 25 + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Étape 3.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.3.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{1 + 2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Étape 3.2.3.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{3} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Étape 3.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- 1 - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Étape 3.2.4

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- 2 + 4)}{5 - (- 1)}$

Étape 3.2.5

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - 1 \cdot 2}{5 - (- 1)}$

Étape 3.2.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - 2}{5 - (- 1)}$

Étape 3.2.7

Additionnez $- 25$ et $5$ .

$\frac{- 20 + 4 - 2}{5 - (- 1)}$

Étape 3.2.8

Additionnez $- 20$ et $4$ .

$\frac{- 16 - 2}{5 - (- 1)}$

Étape 3.2.9

Soustrayez $2$ de $- 16$ .

$\frac{- 18}{5 - (- 1)}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 18}{5 + 1}$

Étape 3.3.2

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{- 18}{6}$

Étape 3.4

Divisez $- 18$ par $6$ .

$- 3$