Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 {(\frac{5}{2})}^{- x}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 2 {(\frac{5}{2})}^{- (x + h)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 {(\frac{5}{2})}^{- x - h}$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f (x + h) = 2 (\frac{5^{- x - h}}{2^{- x - h}})$

Étape 2.1.2.3

Associez $2$ et $\frac{5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ .

$f (x + h) = \frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

Étape 2.1.2.4

La réponse finale est $\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

$f (x) = \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$

$f (x + h) = \frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

$f (x) = \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}} - (\frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}})}{h}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Pour écrire $\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2^{- x}}{2^{- x}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}} \cdot \frac{2^{- x}}{2^{- x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}}{h}$

Étape 4.2

Pour écrire $- \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}} \cdot \frac{2^{- x}}{2^{- x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

Étape 4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2^{- x - h} \cdot 2^{- x}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ par $\frac{2^{- x}}{2^{- x}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- x - h} \cdot 2^{- x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2^{- x - h}$ par $2^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- x - h - x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$ par $\frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- x} \cdot 2^{- h - x}}}{h}$

Étape 4.3.4

Multipliez $2^{- x}$ par $2^{- h - x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- x - h - x}}}{h}$

Étape 4.3.4.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Étape 4.5

Réécrivez $\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}$ en forme factorisée.

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Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}$ .

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Étape 4.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}$ .

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x}) - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Étape 4.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}$ .

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x}) + 2 (- 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Étape 4.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x}) + 2 (- 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})$ .

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Étape 4.5.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1

Réduisez l’expression $\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})}{2^{- 2 x - h}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1.1

Factorisez $2^{- 2 x - h}$ à partir de $2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})$ .

$\frac{\frac{2^{- 2 x - h} (2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)}))}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Étape 4.5.2.1.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{\frac{2^{- 2 x - h} (2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)}))}{2^{- 2 x - h} \cdot 1}}{h}$

Étape 4.5.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2^{- 2 x - h} (2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)}))}{2^{- 2 x - h} \cdot 1}}{h}$

Étape 4.5.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{1}}{h}$

Étape 4.5.2.2

Divisez $2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})$ par $1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Étape 4.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x) - - h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Étape 4.6.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x + 2 x - - h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Étape 4.6.1.3

Multipliez $- - h$ .

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Étape 4.6.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x + 2 x + 1 h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Étape 4.6.1.3.2

Multipliez $h$ par $1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x + 2 x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Étape 4.6.2

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Étape 4.6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x) - - h})}{h}$

Étape 4.6.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x + 2 x - - h})}{h}$

Étape 4.6.3.3

Multipliez $- - h$ .

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Étape 4.6.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x + 2 x + 1 h})}{h}$

Étape 4.6.3.3.2

Multipliez $h$ par $1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x + 2 x + h})}{h}$

Étape 4.6.4

Associez les termes opposés dans $- h - x + 2 x + h$ .

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Étape 4.6.4.1

Additionnez $- h$ et $h$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- x + 2 x + 0})}{h}$

Étape 4.6.4.2

Additionnez $- x + 2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- x + 2 x})}{h}$

Étape 4.6.5

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{x})}{h}$

Étape 5