Pré-calcul Exemples

$f (x) = \tan (2 x)$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \tan (2 (x + h))$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \tan (2 x + 2 h)$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\tan (2 x + 2 h)$ .

$\tan (2 x + 2 h)$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \tan (2 x + 2 h)$

$f (x) = \tan (2 x)$

$f (x + h) = \tan (2 x + 2 h)$

$f (x) = \tan (2 x)$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\tan (2 x + 2 h) - (\tan (2 x))}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Use a sum or difference formula on the numerator.

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Étape 4.1.1

Utilisez la formule de la somme pour la tangente pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{(\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}) - (\tan (2 x))}{h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Pour écrire $- \tan (2 x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}$ .

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)} - \tan (2 x) \cdot \frac{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.2.2.1

Associez $- \tan (2 x)$ et $\frac{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}$ .

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)} + \frac{- \tan (2 x) (1 - \tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) (1 - \tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) \cdot 1 - \tan (2 x) (- \tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) - \tan (2 x) (- \tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3.3

Multipliez $- \tan (2 x) (- \tan (2 x) \tan (2 h))$ .

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Étape 4.1.2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + 1 \tan (2 x) (\tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3.3.2

Multipliez $\tan (2 x)$ par $1$ .

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + \tan (2 x) (\tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3.3.3

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3.3.4

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3.4

Soustrayez $\tan (2 x)$ de $\tan (2 x)$ .

$\frac{\frac{0 + \tan (2 h) + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3.5

Additionnez $0$ et $\tan (2 h)$ .

$\frac{\frac{\tan (2 h) + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3.6

Factorisez $\tan (2 h)$ à partir de $\tan (2 h) + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)$ .

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Étape 4.1.2.3.6.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\frac{\tan (2 h) \cdot 1 + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3.6.2

Factorisez $\tan (2 h)$ à partir de $\tan^{2} (2 x) \tan (2 h)$ .

$\frac{\frac{\tan (2 h) \cdot 1 + \tan (2 h) \tan^{2} (2 x)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3.6.3

Factorisez $\tan (2 h)$ à partir de $\tan (2 h) \cdot 1 + \tan (2 h) \tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{\frac{\tan (2 h) (1 + \tan^{2} (2 x))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3.7

Réorganisez les termes.

$\frac{\frac{\tan (2 h) (\tan^{2} (2 x) + 1)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.1.2.3.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}$ par $\frac{1}{h}$ .

$\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{(1 - \tan (2 x) \tan (2 h)) h}$

Étape 4.2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{(1 - \tan (2 x) \tan (2 h)) h}$ .

$\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{h (1 - \tan (2 x) \tan (2 h))}$

Étape 5