Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.1.2

La réponse finale est ${(x + h)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{{(x + h)}^{\frac{3}{2}} - (x^{\frac{3}{2}})}{h}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez ${(x + h)}^{\frac{3}{2}}$ comme ${({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\frac{{({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{3} - x^{\frac{3}{2}}}{h}$

Étape 4.2

Réécrivez $x^{\frac{3}{2}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\frac{{({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{3} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{3}}{h}$

Étape 4.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ et $b = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Étape 4.4.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Étape 4.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({(x + h)}^{1} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Étape 4.4.2

Simplifiez

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Étape 4.4.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{h}$

Étape 4.4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{h}$

Étape 4.4.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{1})}{h}$

Étape 4.4.4

Simplifiez

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x)}{h}$

Étape 4.4.5

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (2 x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Étape 5