Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{K x}{(A + x)}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{K (x + h)}{A + x + h}$ .

$\frac{K (x + h)}{A + x + h}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

$f (x) = \frac{K x}{A + x}$

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

$f (x) = \frac{K x}{A + x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{K (x + h)}{A + x + h} - (\frac{K x}{A + x})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{K (x + h)}{A + x + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{A + x}{A + x}$ .

$\frac{\frac{K (x + h)}{A + x + h} \cdot \frac{A + x}{A + x} - \frac{K x}{A + x}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{K x}{A + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{A + x + h}{A + x + h}$ .

$\frac{\frac{K (x + h)}{A + x + h} \cdot \frac{A + x}{A + x} - \frac{K x}{A + x} \cdot \frac{A + x + h}{A + x + h}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(A + x + h) (A + x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{K (x + h)}{A + x + h}$ par $\frac{A + x}{A + x}$ .

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x)}{(A + x + h) (A + x)} - \frac{K x}{A + x} \cdot \frac{A + x + h}{A + x + h}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{K x}{A + x}$ par $\frac{A + x + h}{A + x + h}$ .

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x)}{(A + x + h) (A + x)} - \frac{K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(A + x + h) (A + x)$ .

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x)}{(A + x) (A + x + h)} - \frac{K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x) - K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{K (x + h) (A + x) - K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $K$ à partir de $K (x + h) (A + x) - K x (A + x + h)$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Factorisez $K$ à partir de $K (x + h) (A + x)$ .

$\frac{\frac{K ((x + h) (A + x)) - K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez $K$ à partir de $- K x (A + x + h)$ .

$\frac{\frac{K ((x + h) (A + x)) + K (- 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.3

Factorisez $K$ à partir de $K ((x + h) (A + x)) + K (- 1 x (A + x + h))$ .

$\frac{\frac{K ((x + h) (A + x) - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Développez $(x + h) (A + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{K (x (A + x) + h (A + x) - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{K (x A + x \cdot x + h (A + x) - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{K (x A + x \cdot x + h A + h x - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x A - x \cdot x - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x A - (x \cdot x) - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x A - x^{2} - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Soustrayez $x A$ de $x A$ .

$\frac{\frac{K (x^{2} + h A + h x + 0 - x^{2} - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{K (x^{2} + h A + h x - x^{2} - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{K (h A + h x + 0 - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Additionnez $h A$ et $0$ .

$\frac{\frac{K (h A + h x - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Soustrayez $x h$ de $h x$ .

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Étape 4.1.5.11.1

Remettez dans l’ordre $h$ et $x$ .

$\frac{\frac{K (h A + x h - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.11.2

Soustrayez $x h$ de $x h$ .

$\frac{\frac{K (h A + 0)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.12

Additionnez $h A$ et $0$ .

$\frac{\frac{K h A}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{K h A}{(A + x) (A + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $h$ à partir de $K h A$ .

$\frac{h (K A)}{(A + x) (A + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (K A)}{(A + x) (A + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{K A}{(A + x) (A + x + h)}$

Étape 5