Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ comme une équation.

$y = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{9 (y - 9)}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$ .

$\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{9 (y - 9)}}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{9 (y - 9)}$ comme ${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(9 (y - 9))}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(9 y + 9 \cdot - 9)}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1

Multipliez $9$ par $- 9$ .

${(9 y - 81)}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Simplifiez

$9 y - 81 = x^{3}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Ajoutez $81$ aux deux côtés de l’équation.

$9 y = x^{3} + 81$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $9 y = x^{3} + 81$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $9 y = x^{3} + 81$ par $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Divisez $81$ par $9$ .

$y = \frac{x^{3}}{9} + 9$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(\sqrt[3]{9 (x - 9)})}^{3}}{9} + 9$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{9 (x - 9)}}^{3}$ comme $9 (x - 9)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{9 (x - 9)}$ comme ${(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{({(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{9} + 9$

Étape 5.2.3.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{9} + 9$

Étape 5.2.3.1.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

Étape 5.2.3.1.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

Étape 5.2.3.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Étape 5.2.3.1.1.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Étape 5.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

Étape 5.2.3.1.3

Multipliez $9$ par $- 9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x - 81}{9} + 9$

Étape 5.2.3.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 x - 81$ .

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Étape 5.2.3.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x) - 81}{9} + 9$

Étape 5.2.3.1.4.2

Factorisez $9$ à partir de $- 81$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

Étape 5.2.3.1.4.3

Factorisez $9$ à partir de $9 x + 9 \cdot - 9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Étape 5.2.3.2.2

Divisez $x - 9$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x - 9 + 9$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 9 + 9$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{3}}{9} + 9)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 ((\frac{x^{3}}{9} + 9) - 9)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $9$ de $9$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9} + 0)}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\frac{x^{3}}{9}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9})}$

Étape 5.3.4

Associez $9$ et $\frac{x^{3}}{9}$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

Étape 5.3.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.5.1

Réduisez l’expression $\frac{9 x^{3}}{9}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

Étape 5.3.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Étape 5.3.5.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$