Pré-calcul Exemples

$f (x) = \csc (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$

Étape 1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$

Étape 2

Pour tout $y = \csc (x)$ , des asymptotes verticales se trouvent sur $x = n π$ , où $n$ est un entier. Utilisez la période de base pour $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , afin de déterminer les asymptotes verticales pour $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ . Définissez l’intérieur de la fonction cosécante, $b x + c$ , pour $y = a \csc (b x + c) + d$ égal à $0$ afin de déterminer où l’asymptote verticale se produit pour $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 3.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4

Définissez l’intérieur de la fonction cosécante $\frac{x}{2} - \frac{π}{4}$ égal à $2 π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = 2 π$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4}$

Étape 5.1.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 5.1.3

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 5.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 5.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{8 π + π}{4}$

Étape 5.1.5.2

Additionnez $8 π$ et $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π}{4}$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{9 π}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{9 π}{4}$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{9 π}{4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = 2 \frac{9 π}{2 (2)}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{9 π}{2 \cdot 2}$

Étape 5.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{9 π}{2}$

Étape 6

La période de base pour $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ se produit sur $(\frac{π}{2}, \frac{9 π}{2})$ , où $\frac{π}{2}$ et $\frac{9 π}{2}$ sont des asymptotes verticales.

$(\frac{π}{2}, \frac{9 π}{2})$

Étape 7

Déterminez la période $\frac{2 π}{| b |}$ pour déterminer où les asymptotes verticales existent. Des asymptotes verticales apparaissent chaque demi-période.

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Étape 7.1

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 7.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 7.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 8

Les asymptotes verticales pour $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ se produisent sur $\frac{π}{2}$ , $\frac{9 π}{2}$ et chaque $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , où $n$ est un entier. C’est la moitié de la période.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$

Étape 9

La cosécante n’a que des asymptotes verticales.

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ où $n$ est un entier

Étape 10