Pré-calcul Exemples

$\log (2 x^{2} + 3 x) = \log (6 x + 2)$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log (2 x^{2} + 3 x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 x^{2} + 3 x > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} + 3 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2} + 3 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$x (2 x) + 3 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$x (2 x) + x \cdot 3 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x) + x \cdot 3$ .

$x (2 x + 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x + 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (2 x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < 0$

$x > 0$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) > 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $20$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{2} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{2} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 1)}^{2} + 3 (- 1) > 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $- 1$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(2)}^{2} + 3 (2) > 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $14$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{3}{2}$ Vrai

$- \frac{3}{2} < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

$x < - \frac{3}{2}$ Vrai

$- \frac{3}{2} < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{3}{2}$ ou $x > 0$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - \frac{3}{2}, x > 0}$

Étape 4