Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ comme une équation.

$y = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9} = x$ .

$\frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $9$ .

$9 \frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9} = 9 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9} = 9 x$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{3}} - 1 = 9 x$

Étape 3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{\frac{1}{3}} - 9 x = 1$

Étape 3.4.2

Ajoutez $9 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{\frac{1}{3}} = 1 + 9 x$

Étape 3.5

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(1 + 9 x)}^{3}$

Étape 3.6

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.6.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.6.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(1 + 9 x)}^{3}$

Étape 3.6.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.6.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(1 + 9 x)}^{3}$

Étape 3.6.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(1 + 9 x)}^{3}$

Étape 3.6.1.1.2

Simplifiez

$y = {(1 + 9 x)}^{3}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.1

Simplifiez ${(1 + 9 x)}^{3}$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (9 x) + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.2.1.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1 + 3 \cdot 1^{2} (9 x) + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1 + 3 \cdot 1 (9 x) + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$y = 1 + 3 (9 x) + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.4

Multipliez $9$ par $3$ .

$y = 1 + 27 x + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$y = 1 + 27 x + 3 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.6

Appliquez la règle de produit à $9 x$ .

$y = 1 + 27 x + 3 (9^{2} x^{2}) + {(9 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.7

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$y = 1 + 27 x + 3 (81 x^{2}) + {(9 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.8

Multipliez $81$ par $3$ .

$y = 1 + 27 x + 243 x^{2} + {(9 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.9

Appliquez la règle de produit à $9 x$ .

$y = 1 + 27 x + 243 x^{2} + 9^{3} x^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.10

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$y = 1 + 27 x + 243 x^{2} + 729 x^{3}$

Étape 3.7

Simplifiez $1 + 27 x + 243 x^{2} + 729 x^{3}$ .

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Étape 3.7.1

Déplacez $1$ .

$y = 27 x + 243 x^{2} + 729 x^{3} + 1$

Étape 3.7.2

Déplacez $27 x$ .

$y = 243 x^{2} + 729 x^{3} + 27 x + 1$

Étape 3.7.3

Remettez dans l’ordre $243 x^{2}$ et $729 x^{3}$ .

$y = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = 729 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = 729 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{9^{3}}) + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.2

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = 729 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{729}) + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $729$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = 729 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{729}) + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = {(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.4

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.5.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.3.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.5.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.5.2

Simplifiez

Étape 5.2.3.5.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.3.5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.5.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.5.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.5.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.5.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.5.7

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 243 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9^{2}}) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.7

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 243 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{81}) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.8

Annulez le facteur commun de $81$ .

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Étape 5.2.3.8.1

Factorisez $81$ à partir de $243$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 81 (3) (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{81}) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 81 \cdot (3 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{81})) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.8.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 {(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.9

Réécrivez ${(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}$ comme $(x^{\frac{1}{3}} - 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 ((x^{\frac{1}{3}} - 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.10

Développez $(x^{\frac{1}{3}} - 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 1) - 1 (x^{\frac{1}{3}} - 1)) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (x^{\frac{1}{3}} - 1)) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.11.1.1

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.11.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.11.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.11.1.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.11.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.11.1.3

Réécrivez $- 1 x^{\frac{1}{3}}$ comme $- x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.11.1.4

Réécrivez $- 1 x^{\frac{1}{3}}$ comme $- x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.11.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.11.2

Soustrayez $x^{\frac{1}{3}}$ de $- x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.12

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 (- 2 x^{\frac{1}{3}}) + 3 \cdot 1 + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.13

Simplifiez

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Étape 5.2.3.13.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.13.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.14

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.2.3.14.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 9 (3) (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Étape 5.2.3.14.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 9 \cdot (3 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})) + 1$

Étape 5.2.3.14.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 (x^{\frac{1}{3}} - 1) + 1$

Étape 5.2.3.15

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot - 1 + 1$

Étape 5.2.3.16

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 1$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 1$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Additionnez $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ et $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 0 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 1$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 1$

Étape 5.2.4.1.3

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 1$

Étape 5.2.4.1.4

Additionnez $x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1$

Étape 5.2.4.1.5

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Étape 5.2.4.1.6

Additionnez $x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $6 x^{\frac{1}{3}}$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ et $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 0$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1) = \frac{{(729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$