Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ comme une équation.

$y = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9} = x$ .

$\frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $9$ .

$9 \frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9} = 9 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9} = 9 x$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[5]{y - 2} = 9 x$

Étape 3.4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${\sqrt[5]{y - 2}}^{5} = {(9 x)}^{5}$

Étape 3.5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{y - 2}$ comme ${(y - 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(9 x)}^{5}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Simplifiez ${({(y - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(9 x)}^{5}$

Étape 3.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(9 x)}^{5}$

Étape 3.5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y - 2)}^{1} = {(9 x)}^{5}$

Étape 3.5.2.1.2

Simplifiez

$y - 2 = {(9 x)}^{5}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez ${(9 x)}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $9 x$ .

$y - 2 = 9^{5} x^{5}$

Étape 3.5.3.1.2

Élevez $9$ à la puissance $5$ .

$y - 2 = 59049 x^{5}$

Étape 3.6

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 59049 x^{5} + 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 59049 x^{5} + 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 59049 x^{5} + 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 {(\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9})}^{5} + 2$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{\sqrt[5]{x - 2}}^{5}}{9^{5}}) + 2$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez ${\sqrt[5]{x - 2}}^{5}$ comme $x - 2$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{({(x - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{9^{5}}) + 2$

Étape 5.2.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{9^{5}}) + 2$

Étape 5.2.3.2.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{(x - 2)}^{\frac{5}{5}}}{9^{5}}) + 2$

Étape 5.2.3.2.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{(x - 2)}^{\frac{5}{5}}}{9^{5}}) + 2$

Étape 5.2.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{x - 2}{9^{5}}) + 2$

Étape 5.2.3.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{x - 2}{9^{5}}) + 2$

Étape 5.2.3.3

Élevez $9$ à la puissance $5$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{x - 2}{59049}) + 2$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $59049$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{x - 2}{59049}) + 2$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = x - 2 + 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (59049 x^{5} + 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{\sqrt[5]{(59049 x^{5} + 2) - 2}}{9}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{\sqrt[5]{59049 x^{5} + 0}}{9}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $59049 x^{5}$ et $0$ .

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{\sqrt[5]{59049 x^{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $59049 x^{5}$ comme ${(9 x)}^{5}$ .

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{\sqrt[5]{{(9 x)}^{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{9 x}{9}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{9 x}{9}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (59049 x^{5} + 2) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 59049 x^{5} + 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = 59049 x^{5} + 2$