Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ comme une équation.

$y = \frac{x^{5} - 6}{9}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y^{5} - 6}{9}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{5} - 6}{9} = x$ .

$\frac{y^{5} - 6}{9} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $9$ .

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{5} - 6 = 9 x$

Étape 3.4

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{5} = 9 x + 6$

Étape 3.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[5]{9 x + 6}$

Étape 3.6

Factorisez $3$ à partir de $9 x + 6$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9 x$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 6}$

Étape 3.6.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 3 (2)}$

Étape 3.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 x) + 3 (2)$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{9}) + 2)}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 (3)}) + 2)}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 \cdot 3}) + 2)}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2)}$

Étape 5.2.4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})}$

Étape 5.2.5

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})}$

Étape 5.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6 + 2 \cdot 3}{3})}$

Étape 5.2.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3})}$

Étape 5.2.8

Réécrivez $\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.8.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 6 - 6}{3})}$

Étape 5.2.8.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 0}{3})}$

Étape 5.2.8.3

Additionnez $x^{5}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

Étape 5.2.9

Associez $3$ et $\frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Étape 5.2.10

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.10.1

Réduisez l’expression $\frac{3 x^{5}}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.10.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Étape 5.2.10.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

Étape 5.2.10.2

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Étape 5.2.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})}^{5} - 6}{9}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ comme ${(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 6}{9}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez les exposants dans ${({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x + 2)) - 6}{9}$

Étape 5.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x) + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 6) - 6}{9}$

Étape 5.3.3.6

Simplifiez

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 6 - 6}{9}$

Étape 5.3.3.7

Soustrayez $6$ de $6$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Étape 5.3.3.8

Additionnez $9 x$ et $0$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$