Pré-calcul Exemples

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$ est indéfinie.

$x = 2$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 16$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 16}{x - 2}$

Étape 6.1.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 4}{x - 2}$

Étape 6.1.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4)}{x - 2}$

Étape 6.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$

Étape 6.1.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 6.1.2.1.2

Divisez $4 (x + 2)$ par $1$ .

$4 (x + 2)$

Étape 6.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot 2$

Étape 6.1.2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$4 x + 8$

Étape 6.2

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 4 x + 8$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 4 x + 8$

Étape 8