Pré-calcul Exemples

$f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ comme une équation.

$y = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ .

$9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ par $9$ .

$\frac{9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{x}{9}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{x}{9}$

Étape 3.2.2.2

Divisez ${(y + 9)}^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{9}$

Étape 3.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Étape 3.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Simplifiez ${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Étape 3.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Étape 3.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 9)}^{1} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Étape 3.4.1.1.2

Simplifiez

$y + 9 = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(\frac{x}{9})}^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{9}$ .

$y + 9 = \frac{x^{3}}{9^{3}}$

Étape 3.4.2.1.2

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$y + 9 = \frac{x^{3}}{729}$

Étape 3.5

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x^{3}}{729} - 9$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$ est l’inverse de $f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{9^{3} {({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

Étape 5.2.3.1.2

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

Étape 5.2.3.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {(x + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{729} - 9$

Étape 5.2.3.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {(x + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{729} - 9$

Étape 5.2.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

Étape 5.2.3.1.4

Simplifiez

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $729$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

Étape 5.2.3.2.2

Divisez $x + 9$ par $1$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x + 9 - 9$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 9 - 9$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $9$ de $9$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{3}}{729} - 9)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {((\frac{x^{3}}{729} - 9) + 9)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.3.3.1

Associez les termes opposés dans $(\frac{x^{3}}{729} - 9) + 9$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {(\frac{x^{3}}{729} + 0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3.1.2

Additionnez $\frac{x^{3}}{729}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {(\frac{x^{3}}{729})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{3}}{729}$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{729^{\frac{1}{3}}})$

Étape 5.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.4.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{729^{\frac{1}{3}}})$

Étape 5.3.4.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{729^{\frac{1}{3}}})$

Étape 5.3.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{729^{\frac{1}{3}}})$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{729^{\frac{1}{3}}})$

Étape 5.3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.5.1

Réécrivez $729$ comme $9^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{{(9^{3})}^{\frac{1}{3}}})$

Étape 5.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9^{3 (\frac{1}{3})}})$

Étape 5.3.5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9^{3 (\frac{1}{3})}})$

Étape 5.3.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

Étape 5.3.5.4

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

Étape 5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$ est l’inverse de $f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$