Pré-calcul Exemples

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ est indéfinie.

$x = - 1, x = 1$

Étape 2

Comme $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la gauche et $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la droite, $x = - 1$ est une asymptote verticale.

$x = - 1$

Étape 3

Comme $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $1$ depuis la gauche et $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $1$ depuis la droite, $x = 1$ est une asymptote verticale.

$x = 1$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 1, 1$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} + 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x}{x^{2} - 1}$

Étape 8.1.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}{x^{2} - 1}$

Étape 8.1.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} - 1}$

Étape 8.1.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 8.1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 8.2

Développez $2 x (x^{2} + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 8.2.2

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x \cdot x^{2} + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 8.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 8.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 8.2.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 8.3

Développez $(x + 1) (x - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x (x - 1) + 1 (x - 1)}$

Étape 8.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}$

Étape 8.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 8.3.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 8.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 8.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 8.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 8.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 8.3.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}$

Étape 8.3.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1 x + x - 1}$

Étape 8.3.11

Additionnez $- 1 x$ et $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} + 0 - 1}$

Étape 8.3.12

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$

Étape 8.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

Étape 8.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

Étape 8.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

Étape 8.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 0 - 2 x$

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

Étape 8.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

$4 x$

Étape 8.9

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

$4 x$

$0$

Étape 8.10

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$2 x + \frac{4 x}{x^{2} - 1}$

Étape 8.11

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 2 x$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 1, 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 2 x$

Étape 10