Pré-calcul Exemples

$r (t) = \frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$t^{3} + 6 t^{2} + t = 0$

Étape 2

Résolvez $t$ .

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Étape 2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{3} + 6 t^{2} + t$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{3}$ .

$t \cdot t^{2} + 6 t^{2} + t = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $t$ à partir de $6 t^{2}$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

Étape 2.1.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t \cdot 1 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t^{2} + t (6 t)$ .

$t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1 = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $t$ à partir de $t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1$ .

$t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t = 0$

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $t$ égal à $0$ .

$t = 0$

Étape 2.4

Définissez $t^{2} + 6 t + 1$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $t^{2} + 6 t + 1$ égal à $0$ .

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $t^{2} + 6 t + 1 = 0$ pour $t$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 6$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.4.2.3.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.4.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.4.2.4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.5.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.4.2.5.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$t = - 3 - 2 \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$ vraie.

$t = 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $t$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3 - 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 - 2 \sqrt{2}, - 3 + 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 + 2 \sqrt{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${t | t \neq 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}}$

Étape 4