Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{2 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x}{2 x^{2} + 2 x}$ est indéfinie.

$x = - 1, x = 0$

Étape 2

Comme $\frac{2 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x}{2 x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la gauche et $\frac{2 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x}{2 x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la droite, $x = - 1$ est une asymptote verticale.

$x = - 1$

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 8 x^{2} - 10 x}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 6.1.1.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $8 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (4 x) - 10 x}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 6.1.1.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $- 10 x$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (4 x) + 2 x (- 5)}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 6.1.1.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (4 x)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 4 x) + 2 x (- 5)}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 6.1.1.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2} + 4 x) + 2 x (- 5)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 4 x - 5)}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez $x^{2} + 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $4$ .

$- 1, 5$

Étape 6.1.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 x ((x - 1) (x + 5))}{2 x^{2} + 2 x}$

$\frac{2 x (x - 1) (x + 5)}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x - 1) (x + 5)}{2 x (x) + 2 x}$

Étape 6.1.2.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 x (x - 1) (x + 5)}{2 x (x) + 2 x (1)}$

Étape 6.1.2.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (x - 1) (x + 5)}{2 x (x + 1)}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x (x - 1) (x + 5)}{2 x (x + 1)}$

Étape 6.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x (x - 1)) (x + 5)}{x (x + 1)}$

Étape 6.1.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 1) (x + 5)}{x (x + 1)}$

Étape 6.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x + 1}$

Étape 6.2

Développez $(x - 1) (x + 5)$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 5) - 1 (x + 5)}{x + 1}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 (x + 5)}{x + 1}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}{x + 1}$

Étape 6.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $5$ .

$\frac{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}{x + 1}$

Étape 6.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}{x + 1}$

Étape 6.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}{x + 1}$

Étape 6.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}{x + 1}$

Étape 6.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}{x + 1}$

Étape 6.2.9

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{x^{2} + 5 x - 1 x - 5}{x + 1}$

Étape 6.2.10

Soustrayez $1 x$ de $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 5}{x + 1}$

Étape 6.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

Étape 6.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$

Étape 6.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 6.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 6.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x$

Étape 6.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x$	-	$5$

Étape 6.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x$	-	$5$

Étape 6.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$3$

Étape 6.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x + 3$

				$x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x$	-	$5$
					-	$3 x$	-	$3$

Étape 6.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x$	-	$5$
					-	$3 x$	-	$3$
							-	$8$

Étape 6.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x + 3 - \frac{8}{x + 1}$

Étape 6.14

Divisez la solution en la partie polynomiale du reste.

$x + 3 + \frac{- 16 x}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 6.15

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x + 3$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x + 3$

Étape 8