Pré-calcul Exemples

$f (x) = 8 x^{5} - 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 8 x^{5} - 7$ comme une équation.

$y = 8 x^{5} - 7$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 8 y^{5} - 7$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $8 y^{5} - 7 = x$ .

$8 y^{5} - 7 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$8 y^{5} = x + 7$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $8 y^{5} = x + 7$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $8 y^{5} = x + 7$ par $8$ .

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y^{5}$ par $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8} + \frac{7}{8}}$

Étape 3.5

Simplifiez $\sqrt[5]{\frac{x}{8} + \frac{7}{8}}$ .

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Étape 3.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[5]{\frac{x + 7}{8}}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $\sqrt[5]{\frac{x + 7}{8}}$ comme $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$

Étape 3.5.3

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Étape 3.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Étape 3.5.4.2

Élevez $\sqrt[5]{8}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Étape 3.5.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Étape 3.5.4.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Étape 3.5.4.5

Réécrivez ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ comme $8$ .

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Étape 3.5.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{8}$ comme $8^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 3.5.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 3.5.4.5.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Étape 3.5.4.5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Étape 3.5.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Étape 3.5.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Étape 3.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.5.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Étape 3.5.5.2

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{4096}}{8}$

Étape 3.5.5.3

Réécrivez $4096$ comme $4^{5} \cdot 4$ .

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Étape 3.5.5.3.1

Factorisez $1024$ à partir de $4096$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Étape 3.5.5.3.2

Réécrivez $1024$ comme $4^{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Étape 3.5.5.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Étape 3.5.5.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{8}$

Étape 3.5.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.5.6.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 3.5.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}$ .

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4})}{8}$

Étape 3.5.6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.6.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Étape 3.5.6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Étape 3.5.6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{2}$

Étape 3.5.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 8 x^{5} - 7$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (8 x^{5} - 7)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 ((8 x^{5} - 7) + 7)}}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5} + 0)}}{2}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $8 x^{5}$ et $0$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 \cdot (8 x^{5})}}{2}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

Étape 5.2.3.4

Réécrivez $32 x^{5}$ comme ${(2 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

Étape 5.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2})}^{5} - 7$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}^{5}}{2^{5}}) - 7$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{4 (x + 7)}}^{5}$ comme $4 (x + 7)$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{4 (x + 7)}$ comme ${(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}}) - 7$

Étape 5.3.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}}) - 7$

Étape 5.3.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}) - 7$

Étape 5.3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}) - 7$

Étape 5.3.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

Étape 5.3.3.2.1.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

Étape 5.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 4 \cdot 7}{2^{5}}) - 7$

Étape 5.3.3.2.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 28}{2^{5}}) - 7$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 28$ .

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Étape 5.3.3.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x) + 28}{2^{5}}) - 7$

Étape 5.3.3.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 4 \cdot 7}{2^{5}}) - 7$

Étape 5.3.3.2.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot 7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

Étape 5.3.3.3

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{32}) - 7$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $8$ à partir de $32$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{8 (4)}) - 7$

Étape 5.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{8 \cdot 4}) - 7$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Étape 5.3.3.5.2

Divisez $x + 7$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x + 7 - 7$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 7 - 7$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 8 x^{5} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$