Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{9 - \sqrt{- x}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x \geq 0$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- x \geq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x \leq 0$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{9 - \sqrt{- x}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$9 - \sqrt{- x} \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \sqrt{- x} \geq - 9$

Étape 4.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(- \sqrt{- x})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x}$ comme ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez ${(- {(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

${(- ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $- 1$ .

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Étape 4.3.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

${({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot {(- 1)}^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${({(- 1)}^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${({(- 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${({(- 1)}^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

${({(- 1)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Réécrivez ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ comme $\sqrt{{(- 1)}^{3}}$ .

${(\sqrt{{(- 1)}^{3}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

${(\sqrt{- 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

${(i x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $i x^{\frac{1}{2}}$ .

$i^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.7

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.8

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$- x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$- x^{1} \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.9

Simplifiez

$- x \geq {(- 9)}^{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$- x \geq 81$

Étape 4.4

Divisez chaque terme dans $- x \geq 81$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.4.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 81$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{81}{- 1}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{81}{- 1}$

Étape 4.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{81}{- 1}$

Étape 4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.3.1

Divisez $81$ par $- 1$ .

$x \leq - 81$

Étape 4.5

Déterminez le domaine de $9 - \sqrt{- x}$ .

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Étape 4.5.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x \geq 0$

Étape 4.5.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.5.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.2.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x \leq 0$

Étape 4.5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0]$

Étape 4.6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 81$

$- 81 < x < 0$

$x > 0$

Étape 4.7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 81$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 81$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 84$

Étape 4.7.1.2

Remplacez $x$ par $- 84$ dans l’inégalité d’origine.

$9 - \sqrt{- (- 84)} \geq 0$

Étape 4.7.1.3

Le côté gauche $- 0.16515138$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 81 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 81 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 4.7.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$9 - \sqrt{- (- 2)} \geq 0$

Étape 4.7.2.3

Le côté gauche $7.58578643$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 4.7.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$9 - \sqrt{- (2)} \geq 0$

Étape 4.7.3.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 81$ Faux

$- 81 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

$x < - 81$ Faux

$- 81 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

Étape 4.8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 81 \leq x \leq 0$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 81, 0]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 81 \leq x \leq 0}$

Étape 6