Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$5 x^{2} + 14 x - 3 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ et dont la somme est $b = 14$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $14$ à partir de $14 x$ .

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $14$ comme $- 1$ plus $15$

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $5 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $5 x - 1$ égal à $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $5 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 1$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Étape 2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{5}, - 3$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{5}$

$x > \frac{1}{5}$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$5 {(- 6)}^{2} + 14 (- 6) - 3 \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $93$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < \frac{1}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < \frac{1}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$5 {(0)}^{2} + 14 (0) - 3 \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $- 3$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$5 {(3)}^{2} + 14 (3) - 3 \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $84$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ Faux

$x > \frac{1}{5}$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ Faux

$x > \frac{1}{5}$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 3$ ou $x \geq \frac{1}{5}$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ comme ${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez ${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ et dont la somme est $b = 14$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Factorisez $14$ à partir de $14 x$ .

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

Étape 4.3.1.1.2

Réécrivez $14$ comme $- 1$ plus $15$

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

Étape 4.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

Étape 4.3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

Étape 4.3.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

Étape 4.3.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 4.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 4.3.3

Définissez $5 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Définissez $5 x - 1$ égal à $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Étape 4.3.3.2

Résolvez $5 x - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 1$

Étape 4.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 1$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 1$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Étape 4.3.4

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 4.3.4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{5}, - 3$

Étape 4.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$ vrai.

$x = - 3$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup [\frac{1}{5}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - 3, x \geq \frac{1}{5}}$

Étape 6