Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{2 x - \sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 6} - x}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - 4}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 4 \geq 0$

Étape 2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 4$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 6}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 6 \geq 0$

Étape 4

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 6$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x - \sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 6} - x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x + 6} - x = 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x + 6} = x$

Étape 6.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x + 6}}^{2} = x^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 6}$ comme ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 6)}^{1} = x^{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Simplifiez

$x + 6 = x^{2}$

Étape 6.4

Résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x + 6 - x^{2} = 0$

Étape 6.4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.4.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x + 6 - x^{2}$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 6.4.2.1.1.1

Déplacez $6$ .

$x - x^{2} + 6 = 0$

Étape 6.4.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 6 = 0$

Étape 6.4.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

Étape 6.4.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

Étape 6.4.2.1.4

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Étape 6.4.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Étape 6.4.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ .

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

Étape 6.4.2.2

Factorisez.

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Étape 6.4.2.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.4.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 6.4.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Étape 6.4.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

Étape 6.4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 6.4.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.4.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6.4.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.4.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6.4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 3) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 3, - 2$

Étape 6.5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{x + 6} - x = 0$ vrai.

$x = 3$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[4, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 4}$

Étape 8