Pré-calcul Exemples

$f (x) = 10 \sqrt[3]{x} - 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 10 \sqrt[3]{x} - 5$ comme une équation.

$y = 10 \sqrt[3]{x} - 5$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 10 \sqrt[3]{y} - 5$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $10 \sqrt[3]{y} - 5 = x$ .

$10 \sqrt[3]{y} - 5 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$10 \sqrt[3]{y} = x + 5$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(10 \sqrt[3]{y})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y}$ comme $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(10 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(10 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $10 y^{\frac{1}{3}}$ .

$10^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$1000 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1000 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 5)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$1000 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 5)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$1000 y^{1} = {(x + 5)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.4

Simplifiez

$1000 y = {(x + 5)}^{3}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x + 5)}^{3}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$1000 y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

Étape 3.4.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$1000 y = x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$1000 y = x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 5^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.3

Multipliez $25$ par $3$ .

$1000 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 5^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$1000 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $1000 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ par $1000$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $1000 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ par $1000$ .

$\frac{1000 y}{1000} = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{15 x^{2}}{1000} + \frac{75 x}{1000} + \frac{125}{1000}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $1000$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1000 y}{1000} = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{15 x^{2}}{1000} + \frac{75 x}{1000} + \frac{125}{1000}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{15 x^{2}}{1000} + \frac{75 x}{1000} + \frac{125}{1000}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $15$ et $1000$ .

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Étape 3.5.3.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $15 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{5 (3 x^{2})}{1000} + \frac{75 x}{1000} + \frac{125}{1000}$

Étape 3.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.3.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $1000$ .

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{5 (3 x^{2})}{5 (200)} + \frac{75 x}{1000} + \frac{125}{1000}$

Étape 3.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{5 (3 x^{2})}{5 \cdot 200} + \frac{75 x}{1000} + \frac{125}{1000}$

Étape 3.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{75 x}{1000} + \frac{125}{1000}$

Étape 3.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $75$ et $1000$ .

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Étape 3.5.3.1.2.1

Factorisez $25$ à partir de $75 x$ .

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{25 (3 x)}{1000} + \frac{125}{1000}$

Étape 3.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.3.1.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $1000$ .

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{25 (3 x)}{25 (40)} + \frac{125}{1000}$

Étape 3.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{25 (3 x)}{25 \cdot 40} + \frac{125}{1000}$

Étape 3.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{125}{1000}$

Étape 3.5.3.1.3

Annulez le facteur commun à $125$ et $1000$ .

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Étape 3.5.3.1.3.1

Factorisez $125$ à partir de $125$ .

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{125 (1)}{1000}$

Étape 3.5.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.3.1.3.2.1

Factorisez $125$ à partir de $1000$ .

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{125 \cdot 1}{125 \cdot 8}$

Étape 3.5.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{125 \cdot 1}{125 \cdot 8}$

Étape 3.5.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}$ est l’inverse de $f (x) = 10 \sqrt[3]{x} - 5$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{1000} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $10 \sqrt[3]{x} - 5$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $10 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5)}^{3}}{1000} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.1.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(5 (2 \sqrt[3]{x}) + 5 (- 1))}^{3}}{1000} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.1.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (2 \sqrt[3]{x}) + 5 (- 1)$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(5 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}^{3}}{1000} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $5 (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{5^{3} {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{1000} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{125 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{1000} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $125$ et $1000$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $125$ à partir de $125 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{125 ({(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3})}{1000} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.2.1

Factorisez $125$ à partir de $1000$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{125 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{125 \cdot 8} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{125 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{125 \cdot 8} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.3.1

Factorisez $5$ à partir de $10 \sqrt[3]{x} - 5$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $10 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.3.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(5 (2 \sqrt[3]{x}) + 5 (- 1))}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.3.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (2 \sqrt[3]{x}) + 5 (- 1)$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(5 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $5 (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (5^{2} {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.3.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (25 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.3.4

Multipliez $3$ par $25$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{75 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.4

Annulez le facteur commun à $75$ et $200$ .

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Étape 5.2.3.1.4.1

Factorisez $25$ à partir de $75 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{25 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.4.2.1

Factorisez $25$ à partir de $200$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{25 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{25 (8)} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{25 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{25 \cdot 8} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.5

Annulez le facteur commun à $10 \sqrt[3]{x} - 5$ et $40$ .

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Étape 5.2.3.1.5.1

Factorisez $5$ à partir de $3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{5 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{40} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $40$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{5 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{5 (8)} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{5 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{3 (2 \sqrt[3]{x} - 1)}{8} + \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2} + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.3.1

Réécrivez ${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}$ comme $(2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 ((2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.2

Développez $(2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x} - 1) - 1 (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.3.3.1.1

Multipliez $2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x})$ .

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Étape 5.2.3.3.3.1.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.3.1.1.2

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.3.1.1.3

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[3]{x} - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[3]{x} + 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.3.2

Soustrayez $2 \sqrt[3]{x}$ de $- 2 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 4 \sqrt[3]{x} + 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (- 4 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.5

Simplifiez

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Étape 5.2.3.3.5.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 (- 4 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.5.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot - 1 + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot - 1 + 1}{8}$

Étape 5.2.3.3.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} - 3 + 1}{8}$

Étape 5.2.3.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.3.4.1

Associez les termes opposés dans ${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} - 3 + 1$ .

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Étape 5.2.3.4.1.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 0 + 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Étape 5.2.3.4.1.2

Additionnez ${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Étape 5.2.3.4.2

Additionnez $- 12 \sqrt[3]{x}$ et $6 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.4

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.5.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.4.5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.4.5.3.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.4.5.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5.4

Simplifiez

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5.5

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 (2^{2} {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 (4 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.4.5.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 (4 x^{\frac{1}{3} \cdot 2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 (4 x^{\frac{2}{3}}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5.8

Multipliez $4$ par $3$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 12 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5.9

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5.11

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5.12

Multipliez $6$ par $1$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.5.13

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.6

Additionnez $- 12 x^{\frac{2}{3}}$ et $12 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 0 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.7

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Étape 5.2.4.8

Soustrayez $6 x^{\frac{1}{3}}$ de $6 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 0 - 1 + 1}{8}$

Étape 5.2.4.9

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 1 + 1}{8}$

Étape 5.2.4.10

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 0}{8}$

Étape 5.2.4.11

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x}{8}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x}{8}$

Étape 5.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

Pour écrire $\frac{3 x^{2}}{200}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1000$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Multipliez $\frac{3 x^{2}}{200}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2} \cdot 5}{200 \cdot 5} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.2.2

Multipliez $200$ par $5$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2} \cdot 5}{1000} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5}{1000} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.4.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.3.4.4.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 5}{1000} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.4.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2} \cdot 5$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + x^{2} (3 \cdot 5)}{1000} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.4.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} (3 \cdot 5)$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 3 \cdot 5)}{1000} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.4.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{1000} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.5

Pour écrire $\frac{3 x}{40}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{1000} + \frac{3 x}{40} \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1000$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.4.6.1

Multipliez $\frac{3 x}{40}$ par $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{1000} + \frac{3 x \cdot 25}{40 \cdot 25} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.6.2

Multipliez $40$ par $25$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{1000} + \frac{3 x \cdot 25}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15) + 3 x \cdot 25}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.4.8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x + 15) + 3 x \cdot 25$ .

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Étape 5.3.4.8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x + 15)$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 15)) + 3 x \cdot 25}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x \cdot 25$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 15)) + x (3 \cdot 25)}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.8.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x (x + 15)) + x (3 \cdot 25)$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 15) + 3 \cdot 25)}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x \cdot x + x \cdot 15 + 3 \cdot 25)}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.8.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + x \cdot 15 + 3 \cdot 25)}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.8.4

Déplacez $15$ à gauche de $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 15 \cdot x + 3 \cdot 25)}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.8.5

Multipliez $3$ par $25$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 15 x + 75)}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

Étape 5.3.4.9

Pour écrire $\frac{1}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{125}{125}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 15 x + 75)}{1000} + \frac{1}{8} \cdot \frac{125}{125}} - 5$

Étape 5.3.4.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1000$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.4.10.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{125}{125}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 15 x + 75)}{1000} + \frac{125}{8 \cdot 125}} - 5$

Étape 5.3.4.10.2

Multipliez $8$ par $125$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 15 x + 75)}{1000} + \frac{125}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 15 x + 75) + 125}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.4.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (15 x) + x \cdot 75 + 125}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.2

Simplifiez

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Étape 5.3.4.12.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.4.12.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.3.4.12.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (15 x) + x \cdot 75 + 125}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{1 + 2} + x (15 x) + x \cdot 75 + 125}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + x (15 x) + x \cdot 75 + 125}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 15 x \cdot x + x \cdot 75 + 125}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.2.3

Déplacez $75$ à gauche de $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 15 x \cdot x + 75 \cdot x + 125}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.4.12.3.1

Déplacez $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 15 (x \cdot x) + 75 \cdot x + 125}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 15 x^{2} + 75 \cdot x + 125}{1000}} - 5$

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.4

Réécrivez $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.12.4.1

Regroupez les termes.

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 125 + 15 x^{2} + 75 x}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.4.2

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 5^{3} + 15 x^{2} + 75 x}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.4.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2}) + 15 x^{2} + 75 x}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.4.4

Simplifiez

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Étape 5.3.4.12.4.4.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2}) + 15 x^{2} + 75 x}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.4.4.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x^{2} + 75 x}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.4.5

Factorisez $15 x$ à partir de $15 x^{2} + 75 x$ .

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Étape 5.3.4.12.4.5.1

Factorisez $15 x$ à partir de $15 x^{2}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x) + 75 x}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.4.5.2

Factorisez $15 x$ à partir de $75 x$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x) + 15 x (5)}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.4.5.3

Factorisez $15 x$ à partir de $15 x (x) + 15 x (5)$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x + 5)}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.4.6

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x + 5)$ .

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Étape 5.3.4.12.4.6.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $15 x (x + 5)$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + (x + 5) (15 x)}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.4.6.2

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + (x + 5) (15 x)$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25 + 15 x)}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.4.7

Additionnez $- 5 x$ et $15 x$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} + 10 x + 25)}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.4.8

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.4.12.4.8.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.4.8.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 5.3.4.12.4.8.3

Réécrivez le polynôme.

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.12.4.8.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.13

Multipliez $x + 5$ par ${(x + 5)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.4.13.1

Multipliez $x + 5$ par ${(x + 5)}^{2}$ .

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Étape 5.3.4.13.1.1

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.13.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{{(x + 5)}^{1 + 2}}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.13.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{{(x + 5)}^{3}}{1000}} - 5$

Étape 5.3.4.14

Réécrivez $1000$ comme $10^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{{(x + 5)}^{3}}{10^{3}}} - 5$

Étape 5.3.4.15

Réécrivez $\frac{{(x + 5)}^{3}}{10^{3}}$ comme ${(\frac{x + 5}{10})}^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{{(\frac{x + 5}{10})}^{3}} - 5$

Étape 5.3.4.16

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 (\frac{x + 5}{10}) - 5$

Étape 5.3.4.17

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.3.4.17.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 (\frac{x + 5}{10}) - 5$

Étape 5.3.4.17.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = x + 5 - 5$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $x + 5 - 5$ .

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Étape 5.3.5.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = x + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}$ est l’inverse de $f (x) = 10 \sqrt[3]{x} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}$