Pré-calcul Exemples

$f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Déterminez $f^{- 1} (x)$ .

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Étape 1.1

Écrivez $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ comme une équation.

$y = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$

Étape 1.2

Interchangez les variables.

$x = 10 y^{\frac{1}{3}} - 6$

Étape 1.3

Résolvez $y$ .

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’équation comme $10 y^{\frac{1}{3}} - 6 = x$ .

$10 y^{\frac{1}{3}} - 6 = x$

Étape 1.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$10 y^{\frac{1}{3}} - x = 6$

Étape 1.3.2.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$10 y^{\frac{1}{3}} = 6 + x$

Étape 1.3.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(10 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(6 + x)}^{3}$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.4.1.1

Simplifiez ${(10 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.3.4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $10 y^{\frac{1}{3}}$ .

$10^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(6 + x)}^{3}$

Étape 1.3.4.1.1.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$1000 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(6 + x)}^{3}$

Étape 1.3.4.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.3.4.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1000 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(6 + x)}^{3}$

Étape 1.3.4.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.4.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$1000 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(6 + x)}^{3}$

Étape 1.3.4.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$1000 y^{1} = {(6 + x)}^{3}$

Étape 1.3.4.1.1.4

Simplifiez

$1000 y = {(6 + x)}^{3}$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez ${(6 + x)}^{3}$ .

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Étape 1.3.4.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$1000 y = 6^{3} + 3 \cdot 6^{2} x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

Étape 1.3.4.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.2.1.2.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$1000 y = 216 + 3 \cdot 6^{2} x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

Étape 1.3.4.2.1.2.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$1000 y = 216 + 3 \cdot 36 x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

Étape 1.3.4.2.1.2.3

Multipliez $3$ par $36$ .

$1000 y = 216 + 108 x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

Étape 1.3.4.2.1.2.4

Multipliez $3$ par $6$ .

$1000 y = 216 + 108 x + 18 x^{2} + x^{3}$

Étape 1.3.5

Divisez chaque terme dans $1000 y = 216 + 108 x + 18 x^{2} + x^{3}$ par $1000$ et simplifiez.

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Étape 1.3.5.1

Divisez chaque terme dans $1000 y = 216 + 108 x + 18 x^{2} + x^{3}$ par $1000$ .

$\frac{1000 y}{1000} = \frac{216}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $1000$ .

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Étape 1.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1000 y}{1000} = \frac{216}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{216}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $216$ et $1000$ .

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Étape 1.3.5.3.1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $216$ .

$y = \frac{8 (27)}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.3.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.5.3.1.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $1000$ .

$y = \frac{8 \cdot 27}{8 \cdot 125} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.3.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{8 \cdot 27}{8 \cdot 125} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.3.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{27}{125} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.3.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $108$ et $1000$ .

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Étape 1.3.5.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $108 x$ .

$y = \frac{27}{125} + \frac{4 (27 x)}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.3.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.5.3.1.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $1000$ .

$y = \frac{27}{125} + \frac{4 (27 x)}{4 (250)} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.3.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{27}{125} + \frac{4 (27 x)}{4 \cdot 250} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.3.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.3.5.3.1.3

Annulez le facteur commun à $18$ et $1000$ .

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Étape 1.3.5.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $18 x^{2}$ .

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{2 (9 x^{2})}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.3.5.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.5.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $1000$ .

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{2 (9 x^{2})}{2 (500)} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.3.5.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{2 (9 x^{2})}{2 \cdot 500} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.3.5.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 1.5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$ est l’inverse de $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ .

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Étape 1.5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 1.5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 1.5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 1.5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}{250} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $27 (10 x^{\frac{1}{3}} - 6)$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{2 (27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}{250} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $250$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{2 (27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}{2 (125)} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{2 (27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}{2 \cdot 125} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.2.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ .

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Étape 1.5.2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3))}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3)$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.3.2

Appliquez la règle de produit à $2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 \cdot (2^{2} {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 \cdot (4 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.3.4

Multipliez $9$ par $4$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{36 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.4

Factorisez $4$ à partir de $36 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{4 (9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $500$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{4 (9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{4 (125)} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{4 (9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{4 \cdot 125} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.2.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ .

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Étape 1.5.2.3.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 6)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3))}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3)$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.6.2

Appliquez la règle de produit à $2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{2^{3} {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.6.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{1000}$

Étape 1.5.2.3.7

Factorisez $8$ à partir de $8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 ({(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3})}{1000}$

Étape 1.5.2.3.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.8.1

Factorisez $8$ à partir de $1000$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{8 \cdot 125}$

Étape 1.5.2.3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{8 \cdot 125}$

Étape 1.5.2.3.8.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3) + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 27 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 27 \cdot - 3 + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.2

Multipliez $5$ par $27$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 27 \cdot - 3 + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.3

Multipliez $27$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.4

Réécrivez ${(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}$ comme $(5 x^{\frac{1}{3}} - 3) (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 ((5 x^{\frac{1}{3}} - 3) (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.5

Développez $(5 x^{\frac{1}{3}} - 3) (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 x^{\frac{1}{3}} (5 x^{\frac{1}{3}} - 3) - 3 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 x^{\frac{1}{3}} (5 x^{\frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 x^{\frac{1}{3}} (5 x^{\frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.5.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.5.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.6.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.5.6.1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.6.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{1 + 1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.6.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{2}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.6.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.6.1.4

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.6.1.5

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.6.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} + 9) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.6.2

Soustrayez $15 x^{\frac{1}{3}}$ de $- 15 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 30 x^{\frac{1}{3}} + 9) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}}) + 9 (- 30 x^{\frac{1}{3}}) + 9 \cdot 9 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.8

Simplifiez

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Étape 1.5.2.5.8.1

Multipliez $25$ par $9$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} + 9 (- 30 x^{\frac{1}{3}}) + 9 \cdot 9 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.8.2

Multipliez $- 30$ par $9$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 9 \cdot 9 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.8.3

Multipliez $9$ par $9$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.9

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.5.10.1

Appliquez la règle de produit à $5 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 5^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.10.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.10.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.5.2.5.10.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.10.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.2.5.10.3.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.2.5.10.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.10.4

Simplifiez

Étape 1.5.2.5.10.5

Appliquez la règle de produit à $5 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (5^{2} {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.10.6

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (25 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.10.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 1.5.2.5.10.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (25 x^{\frac{1}{3} \cdot 2}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.10.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (25 x^{\frac{2}{3}}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.10.8

Multipliez $25$ par $3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 75 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.10.9

Multipliez $- 3$ par $75$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.10.10

Multipliez $5$ par $3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.10.11

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}} \cdot 9 + {(- 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.10.12

Multipliez $9$ par $15$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} + {(- 3)}^{3}}{125}$

Étape 1.5.2.5.10.13

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

Étape 1.5.2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.5.2.6.1

Associez les termes opposés dans $27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27$ .

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Étape 1.5.2.6.1.1

Additionnez $- 81$ et $81$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

Étape 1.5.2.6.1.2

Additionnez $27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

Étape 1.5.2.6.1.3

Soustrayez $225 x^{\frac{2}{3}}$ de $225 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 0 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

Étape 1.5.2.6.1.4

Additionnez $27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

Étape 1.5.2.6.1.5

Soustrayez $27$ de $27$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}} + 0}{125}$

Étape 1.5.2.6.1.6

Additionnez $135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}}{125}$

Étape 1.5.2.6.2

Soustrayez $270 x^{\frac{1}{3}}$ de $135 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{- 135 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}}{125}$

Étape 1.5.2.6.3

Associez les termes opposés dans $- 135 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.5.2.6.3.1

Additionnez $- 135 x^{\frac{1}{3}}$ et $135 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{125 x + 0}{125}$

Étape 1.5.2.6.3.2

Additionnez $125 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{125 x}{125}$

Étape 1.5.2.6.4

Annulez le facteur commun de $125$ .

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Étape 1.5.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{125 x}{125}$

Étape 1.5.2.6.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = x$

Étape 1.5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 1.5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 1.5.3.2

Évaluez $f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000})}^{\frac{1}{3}} - 6$

Étape 1.5.3.3

Déplacez $\frac{27}{125}$ .

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27}{125})}^{\frac{1}{3}} - 6$

Étape 1.5.3.4

Déplacez $\frac{27 x}{250}$ .

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125})}^{\frac{1}{3}} - 6$

Étape 1.5.3.5

Remettez dans l’ordre $\frac{9 x^{2}}{500}$ et $\frac{x^{3}}{1000}$ .

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{x^{3}}{1000} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125})}^{\frac{1}{3}} - 6$

Étape 1.5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$ est l’inverse de $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$

Étape 2

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Étape 2.1

Déplacez $\frac{27}{125}$ .

$\frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27}{125}$

Étape 2.2

Déplacez $\frac{27 x}{250}$ .

$\frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125}$

Étape 2.3

Remettez dans l’ordre $\frac{9 x^{2}}{500}$ et $\frac{x^{3}}{1000}$ .

$\frac{x^{3}}{1000} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125}$